2008 ??高考数学 2008_天津卷 (2008·文) 第 22 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

（22）（本小题满分 14 分）
已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 $F_{1}(-3,0)$ ，一条渐近线的方程是 $\sqrt{5} x-2 y=0$ ．
（I）求双曲线 C 的方程；
（II）若以 $k(k 
eq 0)$ 为斜率的直线 $l$ 与双曲线 C 相交于两个不同的点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ ，且线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{81}{2}$ ，求 $k$ 的取值范围．

Accepted Answer

【解答】 本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的 定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力。满分 14 分。 （I）解：设双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 。由题设得 $\left\{\begin{array}{l}a^{2}+b^{2}=9 \ \frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}\end{array}ight.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}a^{2}=4 \ b^{2}=5\end{array}ight.$ ，所以双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$ ． （II）解：设直线①$l$ 的方程为 $y=k x+m(k 
eq 0)$ ．点 $M\left(x_{1}, y_{1}ight), N\left(x_{2}, y_{2}ight)$ 的 ②$\left\{\begin{array}{l}y=k x+m \ \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1\end{array}ight.$ 将①式代入②式，得 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{(k x+m)^{2}}{5}=1$ ，整理得 $\left(5-4 k^{2}ight) x^{2}-8 k m x-4 m^{2}-20=0$ ． 此方程有两个一等实根，于是 $5-4 k^{2} 
eq 0$ ，且 $\Delta=(-8 k m)^{2}+4\left(5-4 k^{2}ight)\left(4 m^{2}+20ight)>0$ ． 整理得 $m^{2}+5-4 k^{2}>0$ 。③ 由根与系数的关系可知线段 $M N$ 的中点坐标 $\left(x_{0}, y_{0}ight)$ 满足 $x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{4 k m}{5-4 k^{2}}, y_{0}=k x_{0}+m=\frac{5 m}{5-4 k^{2}}$. 从而线段 $M N$ 的垂直平分线方程为 $y-\frac{5 m}{5-4 k^{2}}=-\frac{1}{k}\left(x-\frac{4 k m}{5-4 k^{2}}ight)$ ． 此直线与 $x$ 轴，$y$ 轴的交点坐标分别为 $\left(\frac{9 k m}{5-4 k^{2}}, 0ight),\left(0, \frac{9 m}{5-4 k^{2}}ight)$ 。由题设可得 $\frac{1}{2}\left|\frac…

2008 高考数学第 22 题答案解析

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