（12 分）（2008 • 四川）一条生产线上生产的产品按…——2008 高考数学第 18 题答案解析

【考点】等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．
【分析】①在一次抽检后，设备不需要调整表示两件都是 A 类产品或两件中最多有一件 B类产品，共包括三种情况，这三种结果是互斥的，而一次测的两件产品质量相互之间没有影响。
②检验员一天抽检 3 次，以 $\xi$ 表示一天中需要调整设备的次数，则 $\xi$ 的可能取值为 $0 , 1$ 、 2、3，由题意知 $\xi \sim \mathrm{B}(3,0.1)$ ，写出随机变量的分布列和期望。
【解答】解：（I）设 $\mathrm{A}_{\mathrm{i}}$ 表示事件＂在一次抽检中抽到的第 i 件产品为 A 类品＂， $\mathrm{i}=1,2$ 。
$\mathrm{B}_{\mathrm{i}}$ 表示事件＂在一次抽检中抽到的第 i 件产品为 B 类品＂， $\mathrm{i}=1,2$ 。
C 表示事件＂一次抽检后，设备不需要调整＂。
则 $\mathrm{C}=\mathrm{A}_{1} \bullet \mathrm{~A}_{2}+\mathrm{A}_{1} \bullet \mathrm{~B}_{2}+\mathrm{B}_{1} \bullet \mathrm{~A}_{2}$ 。
由已知 $\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{i}}\right)=0.9, \mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{\mathrm{i}}\right)=0.05 \mathrm{i}=1,2$ ．

∴ 所求的概率为 $\mathrm{P}(\mathrm{C})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1} \bullet \mathrm{~A}_{2}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{1} \bullet \mathrm{~B}_{2}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{1} \bullet \mathrm{~A}_{2}\right)$
$=0.9^{2}+2 \times 0.9 \times 0.05=0.9$ ．
（II）∵ 检验员一天抽检 3 次，
以 $\xi$ 表示一天中需要调整设备的次数则 $\xi$ 的可能取值为 $0 , 1 , 2 , 3$
由（I）知一次抽检后，设备需要调整的概率为
$\mathrm{p}=\mathrm{P}(\overline{\mathrm{C}})=1-0.9=0.1$ ，
依题意知 $\xi \backslash \sim B(3,0.1)$ ，
$\xi$ 的分布列为

$\mathrm{E} \xi=\mathrm{np}=3 \times 0.1=0.3$.
【点评】本题考查分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题。