设 a_ n 是公差为 d 的等差数列， b_ n 是公比…——2020 高考数学第 11 题答案解析

【解答】
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列。已知数列 $\left\{a_{n}+b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=n^{2}-n+2^{n}-1\left(n \in \mathbf{N}^{+}\right)$，则 $d+q$ 的值是 $\_\_\_\_$ ．

【答案】4
【解析】
【分析】
结合等差数列和等比数列前 $n$ 项和公式的特点，分别求得 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的公差和公比，由此求得 $d+q$ ．
【详解】设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，根据题意 $q \neq 1$ ．
等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和公式为 $P_{n}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d=\frac{d}{2} n^{2}+\left(a_{1}-\frac{d}{2}\right) n$ ，
等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和公式为 $Q_{n}=\frac{b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=-\frac{b_{1}}{1-q} q^{n}+\frac{b_{1}}{1-q}$ ，

依题意 $S_{n}=P_{n}+Q_{n}$ ，即 $n^{2}-n+2^{n}-1=\frac{d}{2} n^{2}+\left(a_{1}-\frac{d}{2}\right) n-\frac{b_{1}}{1-q} q^{n}+\frac{b_{1}}{1-q}$ ，
通过对比系数可知 $\left\{\begin{array}{l}\frac{d}{2}=1 \\ a_{1}-\frac{d}{2}=-1 \\ q=2 \\ \frac{b_{1}}{1-q}=-1\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d=2 \\ a_{1}=0 \\ q=2 \\ b_{1}=1\end{array}\right.\right.$ ，故 $d+q=4$ ．
故答案为： 4
【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前 $n$ 项和公式，属于中档题．