（10分）（选修4－1：几何证明选讲） 如图，直线 A B…——2013 高考数学第 22 题答案解析

【考点】NC：与圆有关的比例线段．
【专题】5B：直线与圆．
【分析】（I）连接 DE 交 BC 于点 G ，由弦切角定理可得 $\angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{BCE}$ ，由已知角平分线可得 $\angle A B E=\angle C B E$ ，于是得到 $\angle C B E=\angle B C E, B E=C E$ ．由已知 $D B \perp B E$ ，可知 $D$ E 为 $\odot \mathrm{O}$ 的直径，Rt $\triangle \mathrm{DBE} \cong \mathrm{Rt} \triangle \mathrm{DCE}$ ，利用三角形全等的性质即可得到 $\mathrm{DC}=\mathrm{DB}$
（II）由（I）可知： DG 是 BC 的垂直平分线，即可得到 $\mathrm{BG}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。设 DE 的中点为 O ，连接 $B O$ ，可得 $\angle B O G=60^{\circ}$ ．从而 $\angle A B E=\angle B C E=\angle C B E=30^{\circ}$ ．得到 $C F \perp B F$ ．进而得到 $\mathrm{Rt} \triangle \mathrm{BCF}$ 的外接圆的半径 $=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$ ．

【解答】（I）证明：连接 DE 交 BC 于点 G ．
由弦切角定理可得 $\angle A B E=\angle B C E$ ，而 $\angle A B E=\angle C B E$ ，
$\therefore \angle \mathrm{CBE}=\angle \mathrm{BCE}, \quad \mathrm{BE}=\mathrm{CE}$ ．
又 $\because D B \perp B E, \therefore D E$ 为 $\odot O$ 的直径，$\angle D C E=90^{\circ}$ ．
$\therefore \triangle \mathrm{DBE} \cong \triangle \mathrm{DCE}, \quad \therefore \mathrm{DC}=\mathrm{DB}$ ．
（II）由（I）可知：$\angle \mathrm{CDE}=\angle \mathrm{BDE}$ ， $\mathrm{DB}=\mathrm{DC}$ ．
故 DG 是 BC 的垂直平分线，$\therefore \mathrm{BG}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
设 DE 的中点为 O ，连接 BO ，则 $\angle \mathrm{BOG}=60^{\circ}$ ．
从而 $\angle A B E=\angle B C E=\angle C B E=30^{\circ}$ ．
$\therefore C F \perp B F$ ．
$\therefore \mathrm{Rt} \triangle \mathrm{BCF}$ 的外接圆的半径 $=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力。