22．（10分）（选修4－1：几何证明选讲）
如图，直线 $A B$ 为圆的切线，切点为 $B$ ，点 $C$ 在圆上，$\angle A B C$ 的角平分线 $B E$ 交圆于点 $E$ ，$D B$ 垂直 $B E$ 交圆于 $D$ 。
（I）证明： $\mathrm{DB}=\mathrm{DC}$ ；
（II）设圆的半径为 $1, B C=\sqrt{3}$ ，延长 $C E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，求 $\triangle B C F$ 外接圆的半径．
(1) 连接 DE 交 BC 于点 G ． 由弦切角定理可得 $\angle A B E=\angle B C E$ ，而 $\angle A B E=\angle C B E$ ， $\therefore \angle \mathrm{CBE}=\angle \mathrm{BCE}, \quad \mathrm{BE}=\mathrm{CE}$ ． 又 $\because D B \perp B E, \therefore D E$ 为 $\odot O$ 的直径，$\angle D C E=90^{\circ}$ ． $\therefore \triangle \mathrm{DBE} \cong \triangle \mathrm{DCE}, \quad \therefore \mathrm{DC}=\mathrm{DB}$ ．; (2) 由（I）可知：$\angle \mathrm{CDE}=\angle \mathrm{BDE}$ ， $\mathrm{DB}=\mathrm{DC}$ ． 故 DG 是 BC 的垂直平分线，$\therefore \mathrm{BG}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ． 设 DE 的中点为 O ，连接 BO ，则 $\angle \mathrm{BOG}=60^{\circ}$ ． 从而 $\angle A B E=\angle B C E=\angle C B E=30^{\circ}$ ． $\therefore C F \perp B F$ ． $\therefore \mathrm{Rt} \triangle \mathrm{BCF}$ 的外接圆的半径 $=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．