2010_旧全国 II 卷 (2010·理)
12．（5分）已知椭圆 $\mathrm{T}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过右焦点 F 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线与 $T$ 相交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $\overline{\mathrm{AF}}=3 \overline{\mathrm{FB}}$ ，则 $k=$（ ）
【考点】 KH ：直线与圆锥曲线的综合．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，根据 $\overrightarrow{\mathrm{AF}}=3 \overrightarrow{\mathrm{FB}}$ 求得 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 关系根据离心率设 $\mathrm{a}=2 \mathrm{t}, \mathrm{c}=\sqrt{3} \mathrm{t}, \mathrm{b}=\mathrm{t}$ ，代入椭圆方程与直线方程联立，消去 x ，根据韦达定理表示出 $y_{1}+y_{2}$ 和 $y_{1} y_{2}$ ，进而根据 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 关系求得 $k$ 。
【解答】解：$A\left(x_{1}, y_{1}\right)$ ，$B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
$\because \overrightarrow{\mathrm{AF}}=3 \overrightarrow{\mathrm{FB}}, \quad \therefore \mathrm{y}_{1}=-3 \mathrm{y}_{2}$,
$\because \mathrm{e}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，设 $\mathrm{a}=2 \mathrm{t}, \mathrm{c}=\sqrt{3} \mathrm{t}, \mathrm{b}=\mathrm{t}$ ，
$\therefore x^{2}+4 y^{2}-4 t^{2}=0$①，
设直线 $A B$ 方程为 $x=s y+\sqrt{3} t$ ，代入①中消去 $x$ ，可得 $\left(s^{2}+4\right) y^{2}+2 \sqrt{3} s t y^{-} t^{2}=0$
$\therefore y_{1}+y_{2}=-\frac{2 \sqrt{3} s t}{s^{2}+4}, \quad y_{1} y_{2}=-\frac{t^{2}}{s^{2}+4}, \quad-2 y_{2}=-\frac{2 \sqrt{3} s t}{s^{2}+4}, \quad-3 y_{2}^{2}=-\frac{t^{2}}{s^{2}+4}$ ，
解得 $s^{2}=\frac{1}{2}, k=\sqrt{2}$
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．