20．（本小题满分 12 分）
如图，抛物线 $E: y^{2}=4 x$ 的焦点为 F，准线 $l$ 与 x 轴的交点为 A．点 C 在抛物线 E 上，以 C 为圆
心，$|C O|$ 为半径作圆，设圆 C 与准线 $l$ 交于不同的两点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$．
（I）若点 C 的纵坐标为 2，求 $|M N|$；
（II）若 $|A F|^{2}=|A M| \cdot|A N|$，求圆 C 的半径．
参考答案（I）抛物线 $y^{2}=4 x$ 的准线 $l$ 的方程为 $x=-1$， 由点 $C$ 的织坐标为 2，得点 $C$ 的坐标为 $(1,2)$ 所以点 $C$ 到准线 $l$ 的距离 $d=2$，又 $|C O|=\sqrt{5}$． 所以 $|M N|=2 \sqrt{|C O|^{2}-d^{2}}=2 \sqrt{5-4}=2$． （II）设 $C\left(\frac{y_{0}^{2}}{4}, y_{0}\right)$，则圆 $C$ 的方程为 $\left(x-\frac{y_{0}^{2}}{4}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=\frac{y_{0}^{4}}{16}+y_{0}^{2}$， 即 $x^{2}-\frac{y_{0}^{2}}{2} x+y^{2}-2 y_{\alpha} y=0$． 由 $x=-1$，得 $y^{2}-2 y_{0} y+1+\frac{y_{0}^{2}}{2}=0$  设 $M\left(-1, y_{1}\right), N\left(-1, y_{2}\right)$，则： $\left\{\begin{array}{l}\Delta=4 y_{0}^{2}-4\left(1+\frac{y_{0}^{2}}{2}\right)=2 y_{0}^{2}-4>0 \\ y_{1} y_{2}=\frac{y_{0}^{2}}{2}+1\end{array}\right.$ 由 $|A F|^{2}=|A M| \cdot|A N|$，得 $\left|y_{1} y_{2}\right|=4$ 所以 $\frac{y_{0}^{2}}{2}+1=4$，解得 $y_{0}= \pm \sqrt{6}$，此时 $\Delta>0$ 所以圆心 $C$ 的坐标为 $\left(\frac{3}{2}, \sqrt{6}\right)$ 或 $\left(\frac{3}{2},-\sqrt{6}\right)$ 从而 $|C O|^{2}=\frac{33}{4},|C O|=\frac{\sqrt{33}}{2}$，即圆 $C$ 的半径为 $\frac{\sqrt{33}}{2}$
