如图，已知 F 是抛物线 y^ 2 =2 p x(p>0)…——2021 高考数学第 21 题答案解析

【答案】①$y^{2}=4 x$ ；②$(-\infty,-7-4 \sqrt{3}] \cup[-7+4 \sqrt{3}, 1) \cup(1,+\infty)$ ．

## 【解析】

【分析】（1）求出 $p$ 的值后可求抛物线的方程．
（2）设 $A B: x=t y+1, A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), N(n, 0)$ ，联立直线 $A B$ 的方程和抛物线的方程后可得 $y_{1} y_{2}=-4, y_{1}+y_{2}=4 t$ ，求出直线 $M A, M B$ 的方程，联立各直线方程可求出 $y_{P}, y_{Q}, y_{R}$ ，根据题设条件可得 $\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^{2}=\frac{3+4 t^{2}}{(2 t-1)^{2}}$ ，从而可求 $n$ 的范围．

【详解】（1）因为 $|M F|=2$ ，故 $p=2$ ，故抛物线的方程为：$y^{2}=4 x$ ．
②设 $A B: x=t y+1, A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), N(n, 0)$ ，

所以直线 $l: x=\frac{y}{2}+n$ ，由题设可得 $n \neq 1$ 且 $t \neq \frac{1}{2}$ ．
由 $\left\{\begin{array}{l}x=t y+1 \\ y^{2}=4 x\end{array}\right.$ 可得 $y^{2}-4 t y-4=0$ ，故 $y_{1} y_{2}=-4, y_{1}+y_{2}=4 t$ ，
因为 $|R N|^{2}=|P N| \cdot|Q N|$ ，故 $\left(\sqrt{1+\frac{1}{4}}\left|y_{R}\right|\right)^{2}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}\left|y_{P}\right| \cdot \sqrt{1+\frac{1}{4}}\left|y_{Q}\right|$ ，故 $y_{R}^{2}=\left|y_{P}\right| \cdot\left|y_{Q}\right|$ ．
又 $M A: y=\frac{y_{1}}{x_{1}+1}(x+1)$ ，由 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{y_{1}}{x_{1}+1}(x+1) \\ x=\frac{y}{2}+n\end{array}\right.$ 可得 $y_{P}=\frac{2(n+1) y_{1}}{2 x_{1}+2-y_{1}}$ ，
同理 $y_{Q}=\frac{2(n+1) y_{2}}{2 x_{2}+2-y_{2}}$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}x=t y+1 \\ x=\frac{y}{2}+n\end{array}\right.$ 可得 $y_{R}=\frac{2(n-1)}{2 t-1}$ ，
所以 $\left[\frac{2(n-1)}{2 t-1}\right]^{2}=\left|\frac{2(n+1) y_{2}}{2 x_{2}+2-y_{2}} \times \frac{2(n+1) y_{1}}{2 x_{1}+2-y_{1}}\right|$ ，
整理得到 $\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2}=(2 t-1)^{2}\left|\frac{y_{1} y_{2}}{\left(2 x_{2}+2-y_{2}\right)\left(2 x_{1}+2-y_{1}\right)}\right|$ ，

$=\frac{4(2 t-1)^{2}}{\left|\left(\frac{y_{2}^{2}}{2}+2-y_{2}\right)\left(\frac{y_{1}^{2}}{2}+2-y_{1}\right)\right|}$
$=\frac{4(2 t-1)^{2}}{\left|\frac{y_{2}^{2} y_{1}^{2}}{4}+\left(y_{2}+y_{1}\right)^{2}-y_{2} y_{1}-\frac{y_{2}+y_{1}}{2} \times y_{1} y_{2}-2\left(y_{2}+y_{1}\right)+4\right|}=\frac{(2 t-1)^{2}}{3+4 t^{2}}$
故 $\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^{2}=\frac{3+4 t^{2}}{(2 t-1)^{2}}$ ，
令 $s=2 t-1$ ，则 $t=\frac{s+1}{2}$ 且 $s \neq 0$ ，
故 $\frac{3+4 t^{2}}{(2 t-1)^{2}}=\frac{s^{2}+2 s+4}{s^{2}}=1+\frac{2}{s}+\frac{4}{s^{2}}=4\left(\frac{1}{s}+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}$ ，
故 $\left\{\begin{array}{l}\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^{2} \geq \frac{3}{4} \\ n \neq 1\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}n^{2}+14 n+1 \geq 0 \\ n \neq 1\end{array}\right.$ ，
解得 $n \leq-7-4 \sqrt{3}$ 或 $-7+4 \sqrt{3} \leq n<1$ 或 $n>1$ ．

故直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距的范围为 $n \leq-7-4 \sqrt{3}$ 或 $-7+4 \sqrt{3} \leq n<1$ 或 $n>1$ ．
【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题．