过抛物线 x^ 2 =2 p y(p>0) 的焦点作斜率为…——2010 高考数学第 14 题答案解析

【解答】
（5分）（2010•湖南）过抛物线 $x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点， $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 在 x 轴上的正射影分别为 $\mathrm{D}, \mathrm{C}$ ．若梯形 ABCD 的面积为 $12 \sqrt{2}$ ，则 $\mathrm{P}=$ 2 ．。
【考点】抛物线的标准方程；直线的一般式方程；抛物线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程。
【分析】先根据抛物线方程得出其焦点坐标和过焦点斜率为 1 的直线方程，设出 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点的坐标，把直线与抛物线方程联立消去 y ，根据韦达定理表示出 $\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}$ 和 $\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}$ ，进而用A，B坐标表示出梯形的面积建立等式求得 p 。

【解答】解：抛物线的焦点坐标为 $\mathrm{F}\left(0, \frac{\mathrm{p}}{2}\right)$ ，则过焦点斜率为 1 的直线方程为 $\mathrm{y}=\mathrm{x}+\frac{\mathrm{p}}{2}$ ，设A $\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)\left(\mathrm{x}_{2}>\mathrm{x}_{1}\right)$ ，由题意可知 $\mathrm{y}_{1}>0, \mathrm{y}_{2}>0$

由 $\left\{\begin{array}{l}y=x+\frac{p}{2} \\ x^{2}=2 p y\end{array}\right.$ ，消去 $y$ 得 $x^{2}-2 p x-p 2=0$ ，
由韦达定理得，$x_{1}+x_{2}=2 p, x_{1} x_{2}=-p^{2}$所以梯形 $A B C D$ 的面积为：$S=\frac{1}{2}\left(y_{1}+y_{2}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)=\frac{1}{2}\left(x_{1}+x_{2}+p\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)=\frac{1}{2} \cdot 3 p$
$\sqrt{\left(\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}\right){ }^{2}-4 \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}}=3 \sqrt{2} \mathrm{p}^{2}$
所以 $3 \sqrt{2} \mathrm{p}^{2}=12 \sqrt{2}$ ，又 $\mathrm{p}>0$ ，所以 $\mathrm{p}=2$
故答案为 2 。

【点评】本题考查抛物线的焦点坐标，直线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查考生的运算能力，属中档题