将离心率为 e_ 1 的双曲线 C_ 1 的实半轴长 a…——2015 高考数学第 8 题答案解析

【答案】 D
【解析】依题意，$e_{1}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}=\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^{2}}, e_{2}=\frac{\sqrt{(a+m)^{2}+(b+m)^{2}}}{a+m}=\sqrt{1+\left(\frac{b+m}{a+m}\right)^{2}}$ ，
因为 $\frac{b}{a}-\frac{b+m}{a+m}=\frac{a b+b m-a b-a m}{a(a+m)}=\frac{m(b-a)}{a(a+m)}$ ，由于 $m>0, a>0, b>0$ ，
所以当 $a>b$ 时， $0<\frac{b}{a}<1,0<\frac{b+m}{a+m}<1, \frac{b}{a}<\frac{b+m}{a+m},\left(\frac{b}{a}\right)^{2}<\left(\frac{b+m}{a+m}\right)^{2}$ ，所以 $e_{1}当 $a1, \frac{b+m}{a+m}>1$ ，而 $\frac{b}{a}>\frac{b+m}{a+m}$ ，所以 $\left(\frac{b}{a}\right)^{2}>\left(\frac{b+m}{a+m}\right)^{2}$ ，所以 $e_{1}>e_{2}$ ．
所以当 $a>b$ 时，$e_{1}e_{2}$ ．
【考点定位】双曲线的性质，离心率．
【名师点睛】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法。分类讨论的时应做到：分类不重不漏；标准要统一，层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论。