（5分）已知方程 x^ 2 m^ 2 +n - y^ 2…——2016 高考数学第 5 题答案解析

【考点】KB：双曲线的标准方程．
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】由已知可得 $c=2$ ，利用 $4=\left(m^{2}+n\right)+\left(3 m^{2}-n\right)$ ，解得 $m^{2}=1$ ，又（ $m^{2}+n$ ）$\left(3 m^{2}-n\right)>0$ ，从而可求 $n$ 的取值范围．

【解答】解：∵ 双曲线两焦点间的距离为 $4, \therefore c=2$ ，
当焦点在 $x$ 轴上时，
可得： $4=\left(m^{2}+n\right)+\left(3 m^{2}-n\right)$ ，解得：$m^{2}=1$ ，
∵ 方程 $\frac{x^{2}}{m^{2}+n}-\frac{y^{2}}{3 m^{2}-n}=1$ 表示双曲线，
$\therefore\left(m^{2}+n\right)\left(3 m^{2}-n\right)>0$ ，可得：$(n+1)(3-n)>0$ ，
解得：$-1<\mathrm{n}<3$ ，即 n 的取值范围是：$(-1,3)$ ．
当焦点在 y 轴上时，
可得：$-4=\left(m^{2}+n\right)+\left(3 m^{2}-n\right)$ ，解得：$m^{2}=-1$ ，
无解。
故选：A．
【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题。