16. 在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D-中， $4,AB O=$为 1AC的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，
则球O的半径的取值范围是________．
参考答案
[2 2,2 3]
在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D-中， 4…——2023 高考数学第 16 题答案解析
2023_全国甲卷 (2023·文)
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【答案】[2 2,2 3]
【解析】
【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为 4的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最
小.
【详解】设球的半径为R.
当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包
含正方体，导致球面和棱没有交点，
正方体的外接球直径2R¢为体对角线长 $2 2 214 4 4 4 3AC= + + =$，即2 4 3, 2 3R R¢ ¢= =，故
$max2 3R=$；
分别取侧棱 1 1 1 1, , ,AA BB CC DD的中点 , , ,M H G N，显然四边形MNGH是边长为4的正方形，且O为正
方形MNGH的对角线交点，
连接MG，则 $4 2MG=$，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆，球的半径达到最小，即R
的最小值为2 2.
综上， [2 2, 2 3]RÎ.
故答案为：[2 2,2 3]
✅ 来源：2023年 · 全国 · 2023_全国甲卷 (2023·文) · 第 16 题 · 本题已通过全部自动发布校验
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