2015_退役省自主命题 (2015·文)
16、（本小题满分 13 分，（I）小问 7 分，（II）小问 6 分）
已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{3}=2$ ，前 3 项和 $S_{3}=\frac{9}{2}$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{1}=a_{1}, b_{4}=a_{15}$ ，求 $\left\{b_{n}\right\}$ 前 n 项和 $T_{n}$ ．
【答案】（I ）$a_{n}=\frac{n+1}{2}$ ；（II ）$T_{n}=2^{n}-1$ ．
## 【解析】
试题分析：（I）由已知及等差数列的通项公式和前 $n$ 项和公式可得关于数列的首项 $a$ 和公式 $d$ 的二元一次方程组，解此方程组可求得首项及公差的值，从而可写出此数列的通项公式；
（II）由（I）的结果可求出 $b_{1}$ 和 $b_{4}$ 的值，进而就可求出等比数列的公比，再由等比数列的前 $n$ 项和公式 $T_{n}=\frac{b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}$ 即可求得数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 前 n 项和 $T_{n}$ ．
试题解析：①设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，则由已知条件得
$a_{1}+2 d=2,3 a_{1}+\frac{3 \times 2}{2} d=\frac{9}{2}$ ，
化简得 $a_{1}+2 d=2, a_{1}+d=\frac{3}{2}$ ，
解得 $a_{1}=1, d=\frac{1}{2}$ ，
故通项公式 $a_{n}=1+\frac{n-1}{2}$ ，即 $a_{n}=\frac{n+1}{2}$ ．
②由①得 $b_{1}=1, b_{4}=a_{15}=\frac{15+1}{2}=8$ ．
设 $\left\{b_{n}\right\}$ 的公比为 q ，则 $\mathrm{q}^{3}=\frac{b_{4}}{b_{1}}=8$ ，从而 $q=2$ 。
故 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 n 项和
$$ T_{n}=\frac{b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=\frac{1 \times\left(1-2^{n}\right)}{1-2}=2^{n}-1 . \text { } $$
【考点定位】1．等差数列；2．等比数列．
【名师点睛】本题考查等差数列及等比数列的概念、通项公式及前 n 项的求和公式，利用方程组思想求解。本题属于基础题，注意运算的准确性．