（2016•江苏）在平面直角坐标系 x O y 中，已知直…——2016 高考数学第 23 题答案解析

【解答】
（2016•江苏）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2} t \\ y=\frac{\sqrt{3}}{2} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），椭圆 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数），设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ，$B$ 两点，求线段 AB 的长．
【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案。
【解答】解：由 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2} t(1) \\ y=\frac{\sqrt{3}}{2} t(2)\end{array}\right.$ ，由（2）得 $t=\frac{2}{\sqrt{3}} y$ ，
代入（1）并整理得，$\sqrt{3} x-y-\sqrt{3}=0$ ．
由 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ \frac{y}{2}=\sin \theta\end{array}\right.$ ，
两式平方相加得 $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ．
联立 $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3} x-y-\sqrt{3}=0 \\ x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{7} \\ y=-\frac{8 \sqrt{3}}{7}\end{array}\right.$ ．
$\therefore|\mathrm{AB}|=\sqrt{\left(1+\frac{1}{7}\right)^{2}+\left(0+\frac{8 \sqrt{3}}{7}\right)^{2}}=\frac{16}{7}$ ．
【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题。