已知函数 f(x)= e ^ x +a x^ 2 -x ．…——2020 高考数学第 21 题答案解析

【答案】①当 $x \in(-\infty, 0)$ 时，$f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减，当 $x \in(0,+\infty)$ 时，

$f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增．（2）$\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$

## 【解析】

## 【分析】

①由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可．
（2）首先讨论 $x=0$ 的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $a$ 的取值范围．

【详解】①当 $a=1$ 时，$f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$ ，

由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2>0$ ，故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增，注意到 $f^{\prime}(0)=0$ ，故：
当 $x \in(-\infty, 0)$ 时，$f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减，
当 $x \in(0,+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增．
（2）由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得，$e^{x}+a x^{2}-x \ldots \frac{1}{2} x^{3}+1$ ，其中 $x \geq 0$ ，
①．当 $x=0$ 时，不等式为： $1 \geq 1$ ，显然成立，符合题意；
②．当 $x>0$ 时，分离参数 $a$ 得，$a \ldots-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}$ ，
记 $g(x)=-\frac{e^{x}-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}{x^{3}}$ ，
令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$ ，
则 $h^{\prime}(x)=e^{x}-x-1, h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$ ，
故 $h^{\prime}(x)$ 单调递增，$h^{\prime}(x) \geq h^{\prime}(0)=0$ ，

故函数 $h(x)$ 单调递增，$h(x) \geq h(0)=0$ ，
由 $h(x) \geq 0$ 可得：$e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \ldots 0$ 恒成立，
故当 $x \in(0,2)$ 时，$g^{\prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增；
当 $x \in(2,+\infty)$ 时，$g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减；

因此，$[g(x)]_{\text {max }}=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$ ，
综上可得，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$ ．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系。
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题。（4）考查数形结合思想的应用。