（12分）已知 a_ n 是递增的等差数列， a_ 2 ,…——2014 高考数学第 17 题答案解析

【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．
【专题】15：综合题；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出 $a_{2}, a_{4}$ 的值，从而解出通项；
（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．
【解答】解：（1）方程 $x^{2}-5 x+6=0$ 的根为 2 ，3．又 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增的等差数列，故 $a_{2}=2, a_{4}=3$ ，可得 $2 d=1, d=\frac{1}{2}$ ，故 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=2+(\mathrm{n}-2) \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \mathrm{n}+1$ ，
②设数列 $\left\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，
$S_{n}=\frac{a_{1}}{2^{1}}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\frac{a_{3}}{2^{3}}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{2^{n-1}}+\frac{a_{n}}{2^{n}}$,
$\frac{1}{2} S_{n}=\frac{a_{1}}{2^{2}}+\frac{a_{2}}{2^{3}}+\frac{a_{3}}{2^{4}}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{2^{n}}+\frac{a_{n}}{2^{n+1}}$,

①－②得 $\frac{1}{2} S_{n}=\frac{a_{1}}{2}+d\left(\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)-\frac{a_{n}}{2^{n+1}}=\frac{\frac{3}{2}}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)}{1-\frac{1}{2}}-\frac{a_{n}}{2^{n+1}}$

解得 $S_{n}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)-\frac{n+2}{2^{n+1}}=2-\frac{n+4}{2^{n+1}}$ ．
【点评】本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式．