（15分）（2016•浙江）如图，设椭圆 C : x ^…——2016 高考数学第 19 题答案解析

【考点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合．
【分析】（I）联立直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+1$ 与椭圆方程，利用弦长公式求解即可．
（II）写出圆的方程，假设圆 A 与椭圆由 4 个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意一 $\mathrm{A}(0,1)$ 为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点， a 的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围．
【解答】解：（I ）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}y=k x+1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1\end{array}\right.$ ，可得：$\left(1+a^{2} k^{2}\right) x^{2}+2 k a^{2} x=0$ ，
得 $x_{1}=0$ 或 $x_{2}=\frac{-2 k a^{2}}{1+k^{2} a^{2}}$ ，

直线 $y=k x+1$ 被椭圆截得到的弦长为：$\sqrt{1+k^{2}}\left|x_{1}-x_{2}\right|=\frac{2 a^{2}|k|}{1+a^{2} k^{2}} \sqrt{1+k^{2}}$ ．
（II）假设圆 A 与椭圆由 4 个公共点，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P ， Q ，满足 $|\mathrm{AP}|=|\mathrm{AQ}|$ ，
记直线 $A P, A Q$ 的斜率分别为：$k_{1}, k_{2}$ ；且 $k_{1}, k_{2}>0, k_{1} \neq k_{2}$ ，由①可知
$|\mathrm{AP}|=\frac{2 \mathrm{a}^{2}\left|\mathrm{k}_{1}\right| \sqrt{1+\mathrm{k}_{1}^{2}}}{1+\mathrm{a}^{2} \mathrm{k}_{1}^{2}},|\mathrm{AQ}|=\frac{2 \mathrm{a}^{2}\left|\mathrm{k}_{2}\right| \sqrt{1+\mathrm{k}_{2}^{2}}}{1+\mathrm{a}^{2} \mathrm{k}_{2}^{2}}$,
故：$\frac{2 a^{2}\left|k_{1}\right| \sqrt{1+k_{1}^{2}}}{1+a^{2} k_{1}^{2}}=\frac{2 a^{2}\left|k_{2}\right| \sqrt{1+k_{2}^{2}}}{1+a^{2} k_{2}^{2}}$ ，所以，$\left(k_{1}^{2}-k_{2}^{2}\right)\left[1+k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+a^{2}\left(2-a^{2}\right)\right.$
$\left.\mathrm{k}_{1}{ }^{2} \mathrm{k}_{2}{ }^{2}\right]=0$ ，由 $\mathrm{k}_{1} \neq \mathrm{k}_{2}$ ，
$\mathrm{k}_{1}, \mathrm{k}_{2}>0$ ，可得： $1+\mathrm{k}_{1}{ }^{2}+\mathrm{k}_{2}{ }^{2}+\mathrm{a}^{2}\left(2-\mathrm{a}^{2}\right) \mathrm{k}_{1}{ }^{2} \mathrm{k}_{2}{ }^{2}=0$ ，
因此 $\left(\frac{1}{\mathrm{k}_{1}^{2}}+1\right)\left(\frac{1}{\mathrm{k}_{2}^{2}}+1\right)=1+\mathrm{a}^{2}\left(\mathrm{a}^{2}-2\right)$①，
因为（1）式关于 $k_{1}, k_{2}$ ；的方程有解的充要条件是： $1+a^{2}\left(a^{2}-2\right)>1$ ，
所以 $\mathrm{a}>\sqrt{2}$ ．
因此，任意点 $\mathrm{A}(0,1)$ 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为： $1<\mathrm{a}<2$ ，
$\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{\sqrt{\mathrm{a}^{2}-1}}{\mathrm{a}}$ 得，所求离心率的取值范围是： $0<\mathrm{e} \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想以及计算能力。