（14 分）已知抛物线 C : y ^ 2 =2 px 经…——2018 高考数学第 19 题答案解析

【考点】 KN ：直线与抛物线的综合。
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程。
【分析】（I）将 P 代入抛物线方程，即可求得 p 的值，设直线 AB 的方程，代入椭圆方程，由 $\triangle>0$ ，即可求得 $k$ 的取值范围；
（II）根据向量的共线定理即可求得 $\lambda=1-\mathrm{y}_{\mathrm{M}}, \mu=1-\mathrm{y}_{\mathrm{N}}$ ，求得直线 PA 的方程，令 $x=0$ ，求得 $M$ 点坐标，同理求得 $N$ 点坐标，根据韦达定理即可求得 $\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\mu}$为定值．
【解答】解：（I）∵ 抛物线 C： $\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px}$ 经过点
$P(1,2), \therefore 4=2 p$ ，解得 $p=2$ ，
设过点 $(0,1)$ 的直线方程为 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+1$ ，

设 $\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$
联立方程组可得 $\left\{\begin{array}{c}y^{2}=4 x \\ y=k x+1\end{array}\right.$ ，
消 $y$ 可得 $k^{2} x^{2}+(2 k-4) x+1=0$ ，
$\therefore \triangle=(2 \mathrm{k}-4)^{2}-4 \mathrm{k}^{2}>0$ ，且 $\mathrm{k} \neq 0$ 解得 $\mathrm{k}<1$ ，
且 $k \neq 0, x_{1}+x_{2}=-\frac{2 k-4}{k^{2}}, x_{1} x_{2}=\frac{1}{k^{2}}$ ，
又 $\because \mathrm{PA} , \mathrm{~PB}$ 要与 y 轴相交，$\therefore$ 直线 1 不能经过点 $(1,-2)$ ，即 $\mathrm{k} \neq-3$ ，
故直线 $l$ 的斜率的取值范围 $(-\infty,-3) \cup(-3,0) \cup(0,1)$ ；
（II）证明：设点 $\mathrm{M}\left(0, \mathrm{y}_{\mathrm{M}}\right), \mathrm{N}\left(0, \mathrm{y}_{\mathrm{N}}\right)$ ，
则 $\overrightarrow{\mathrm{QM}}=\left(0, \mathrm{y}_{\mathrm{M}}-1\right), \overrightarrow{\mathrm{QO}}=(0,-1)$
因为 $\overrightarrow{Q M}=\lambda \overrightarrow{Q O}$ ，所以 $\mathrm{y}_{\mathrm{M}}-1=-\mathrm{y}_{\mathrm{M}}-1$ ，故 $\lambda=1-\mathrm{y}_{\mathrm{M}}$ ，同理 $\mu=1-\mathrm{y}_{\mathrm{N}}$ ，
直线 PA 的方程为 $y-2=\frac{2-y_{1}}{1-x_{1}}(x-1)=\frac{2-y_{1}}{1-\frac{y_{1}^{2}}{4}}(x-1)=\frac{4}{2+y_{1}}(x-1)$ ，
令 $x=0$ ，得 $y_{M}=\frac{2 y_{1}}{2+y_{1}}$ ，同理可得 $y_{N}=\frac{2 y_{2}}{2+y_{2}}$ ，
因为

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\mu}=\frac{1}{1-y_{M}}+\frac{1}{1-y_{N}}=\frac{2+y_{1}}{2-y_{1}}+\frac{2+y_{2}}{2-y_{2}}=\frac{8-2 y_{1} y_{2}}{\left(2-y_{1}\right)\left(2-y_{2}\right)}=\frac{8-2\left(k x_{1}+1\right)\left(k x_{2}+1\right)}{1-k\left(x_{1}+x_{2}\right)+k^{2} x_{1} x_{2}}= \\ & \frac{8-\left[k^{2} x_{1} x_{2}+k\left(x_{1}+x_{2}\right)+1\right]}{1-k\left(x_{1}+x_{2}\right)+k^{2} x_{1} x_{2}}=\frac{8-2\left(1+\frac{4-2 k}{k}+1\right)}{1-\frac{4-2 k}{k}+1}=\frac{4-2 \times \frac{4-2 k}{k}}{2-\frac{4-2 k}{k}}=2, \\ & \therefore \frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\mu}=2, \therefore \frac{1}{\lambda}+\frac{1}{\mu} \text { 为定值. } \end{aligned} $$

【点评】本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．