2015_上海卷 (2015·文)
20．（本题满分 14 分）本题共 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分．
已知函数 $f(x)=a x^{2}+\frac{1}{x}$，其中 $a$ 为实数．
（1）根据 $a$ 的不同取值，判断函数 $f(x)$ 的奇偶性，并说明理由；
（2）若 $a \in(1,3)$，判断函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上的单调性，并说明理由．
(1) $f(x)$ 是非奇非偶函数; (2) 函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上单调递增．
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】（1）$f(x)$ 是非奇非偶函数；（2）函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上单调递增．
【解析】（1）当 $a=0$ 时，$f(x)=\frac{1}{x}$，显然是奇函数；
当 $a \neq 0$ 时，$f(1)=a+1, f(-1)=a-1, f(1) \neq f(-1)$ 且 $f(1)+f(-1) \neq 0$，
所以此时 $f(x)$ 是非奇非偶函数．
（2）设 $\forall x_{2}<x_{2} \in[1,2]$，
则 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=a\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right)+\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1} x_{2}}=\left(x_{1}-x_{2}\right)\left[a\left(x_{1}+x_{2}\right)-\frac{1}{x_{1} x_{2}}\right]$
因为 $x_{1}<x_{2} \in[1,2]$，所以 $x_{1}-x_{2}<0,2<x_{1}+x_{2}<4,1<x_{1} x_{2}<4$，
所以 $2<a\left(x_{1}+x_{2}\right)<12, \frac{1}{4}<\frac{1}{x_{1} x_{2}}<1$，
所以 $a\left(x_{1}+x_{2}\right)-\frac{1}{x_{1} x_{2}}>0$，
所以 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)<0$，即 $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$，
故函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上单调速增．
【考点定位】函数的奇偶性、单调性．