（本小题满分 13 分） 设 f(x)= 1 3 x^ 3…——2011 高考数学第 24 题答案解析

【解答】
（本小题满分 13 分）
设 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+m x^{2}+n x$ ．
（1）如果 $g(x)=f^{\prime}(x)-2 x-3$ 在 $x=-2$ 处取得最小值 -5 ，求 $f(x)$ 的解析式；
（2）如果 $m+n<10\left(m, n \in N_{+}\right), f(x)$ 的单调递减区间的长度是正整数，试求 $m$ 和 $n$的值．（注：区间 $(a, b)$ 的长度为 $b-a$ ）
．解：（1）已知 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+m x^{2}+n x, \therefore f^{\prime}(x)=x^{2}+2 m x+n$
又 $\because g(x)=f^{\prime}(x)-2 x-3=x^{2}+(2 m-2) x+n-3$ 在 $x=-2$ 处取极值，

则 $g^{\prime}(-2)=2(-2)+(2 m-2)=0 \Rightarrow m=3$ ，又在 $x=-2$ 处取最小值 -5 ．
则 $g(-2)=(-2)^{2}+(-2) \times 4+n-3=-5 \Rightarrow n=2$
$\therefore f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+3 x^{2}+2 x$
（2）要使 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+m x^{2}+n x$ 单调递减，则 $\therefore f^{\prime}(x)=x^{2}+2 m x+n<0$
又递减区间长度是正整数，所以 $f^{\prime}(x)=x^{2}+2 m x+n=0$ 两根设做 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 。即有：
$\mathrm{b}-\mathrm{a}$ 为区间长度。又 $b-a=\sqrt{(a+b)^{2}-4 a b}=\sqrt{4 m^{2}-4 n}=2 \sqrt{m^{2}-n}\left(m, n \in N_{+}\right)$
又 $\mathrm{b}-\mathrm{a}$ 为正整数，且 $\mathrm{m}+\mathrm{n}<10$ ，所以 $\mathrm{m}=2, \mathrm{n}=3$ 或，$m=3, n=5$ 符合。