（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完…_2018??高考数学第18题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式。为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人。第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式。根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： | 第一种生产方式 | | 第二种生产方式 | | :--- | :--- | :--- | | $\begin{array}{llllllllll} 9 & 8 & 7 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 3 & 2 \ & & & & & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}$ | | 6 5 5 6 8 9
7 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8
8 1 4 4 5
9 0 | （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 $m$ ，并将完成生产任务所需时间超过 $m$ 和不超过 $m$ 的工人数填入下面的列联表： | | 超过m | 不超过m | | :--- | :--- | :--- | | 第一种生产方式 | | | | 第二种生产方式 | | | （3）根据②中的列联表，能否有 $99 \%$ 的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ， | $P\left(K^{2} \geq k ight)$ | 0.050 | 0.010 | 0.001 | | :---: | :--- | :--- | :--- | | $k$ | 3.841 | 6.635 | 10.828 |

Accepted Answer

（1）第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高（2）$m=80$（3）能有 $99 \%$ 的把握认为两种生产方式的效率有差异

【考点】BL：独立性检验．
【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；51：概率与统计．
【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；

（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；
（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论。
【解答】解：①根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在 $72 \sim 92$ 之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在 $65 \sim 85$ 之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
②这 40 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是 79 和 81 ，计算它们的中位数为 $m=\frac{79+81}{2}=80$ ；

由此填写列联表如下；

	超过m	不超过m	总计
第一种生产方式	15	5	20
第二种生产方式	5	15	20
总计	20	20	40

③根据②中的列联表，计算
$\mathrm{K}^{2}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{ad}-\mathrm{bc})^{2}}{(\mathrm{a}+\mathrm{b})(\mathrm{c}+\mathrm{d})(\mathrm{a}+\mathrm{c})(\mathrm{b}+\mathrm{d})}=\frac{40 \times(15 \times 15-5 \times 5)^{2}}{20 \times 20 \times 20 \times 20}=10>6.635$,
∴ 能有 $99 \%$ 的把握认为两种生产方式的效率有差异．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．

（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完…——2018 高考数学第 18 题答案解析

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