（20）（本小题满分 12 分） 设 F_ 1 , F_…——2010 高考数学第 19 题答案解析

【解答】
解：
（I）由椭圆定义知 $\left|\mathrm{AF}_{2}\right|+|\mathrm{AB}|+\left|\mathrm{BF}_{2}\right|=4$
又 $2|\mathrm{AB}|=\left|\mathrm{AF}_{2}\right|+\left|\mathrm{BF}_{2}\right|$ ，得 $|\mathrm{AB}|=\frac{4}{3}$
（II）L的方程式为 $\mathrm{y}=\mathrm{x}+\mathrm{c}$ ，其中 $c=\sqrt{1-b^{2}}$
设 $\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$ ，则A，B 两点坐标满足方程组

$$ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{y}=\mathrm{x}+\mathrm{c} \\ \mathrm{x}^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \end{array}\right. $$

化简得 $\left(1+b^{2}\right) x^{2}+2 c x+1-2 b^{2}=0$ ．

则 $x_{1}+x_{2}=\frac{-2 c}{1+b^{2}}, x_{1} x_{2}=\frac{1-2 b^{2}}{1+b^{2}}$ ．
因为直线 AB 的斜率为 1 ，所以 $|\mathrm{AB}|=\sqrt{2}\left|\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}\right|$

即 $\frac{4}{3}=\sqrt{2}\left|x_{2}-x_{1}\right|$ 。
则 $\frac{8}{9}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}=\frac{4\left(1-b^{2}\right)}{\left(1+b^{2}\right)^{2}}-\frac{4\left(1-2 b^{2}\right)}{1+b^{2}}=\frac{8 b^{4}}{1+b^{2}}$
解得 $b=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．