（14分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 AB…——2018 高考数学第 18 题答案解析

【考点】 LS ：直线与平面平行； LW ：直线与平面垂直； LY ：平面与平面垂直。

【专题】35：转化思想；49：综合法； 5 F ：空间位置关系与距离．
【分析】（I）由等腰三角形的三线合一性质和矩形的对边平行性质，即可得证；
（II）作出平面 PAB 和平面 PCD 的交线，注意运用公理4，再由面面垂直的性质和两个平面所成角的定义，即可得证；
（III）取 PC 的中点 H ，连接 $\mathrm{DH}, \mathrm{FH}$ ，运用中位线定理和平行四边形的判断和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证．

【解答】证明：（I） $\mathrm{PA}=\mathrm{PD}, \mathrm{E}$ 为 AD 的中点，
可得 $P E \perp A D$ ，
底面 ABCD 为矩形，可得 $\mathrm{BC} \| \mathrm{AD}$ ，
则 $\mathrm{PE} \perp \mathrm{BC}$ ；
（II）由于平面 PAB 和平面 PCD 有一个公共点 P ，
且 $A B \| C D$ ，
在平面 PAB 内过 P 作直线 $\mathrm{PG} \| \mathrm{AB}$ ，
可得 $P G \| C D$ ，
即有平面 $\mathrm{PAB} \cap$ 平面 $\mathrm{PCD}=\mathrm{PG}$ ，

由平面 $\mathrm{PAD} \perp$ 平面 ABCD ，又 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{AD}$ ，
可得 $\mathrm{AB} \perp$ 平面 PAD ，即有 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{PA}$ ，
$\mathrm{PA} \perp \mathrm{PG}$ ；
同理可得 $\mathrm{CD} \perp \mathrm{PD}$ ，即有 $\mathrm{PD} \perp \mathrm{PG}$ ，
可得 $\angle \mathrm{APD}$ 为平面 PAB 和平面 PCD 的平面角，
由 $\mathrm{PA} \perp \mathrm{PD}$ ，
可得平面 $\mathrm{PAB} \perp$ 平面 PCD ；
（III）取 PC 的中点 H ，连接 $\mathrm{DH}, \mathrm{FH}$ ，
在三角形 PCD 中， FH 为中位线，可得 $\mathrm{FH} \| \mathrm{BC}$ ，
$\mathrm{FH}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$ ，
由 $\mathrm{DE} \| \mathrm{BC}, \mathrm{DE}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}$ ，
可得 $\mathrm{DE}=\mathrm{FH}, ~ \mathrm{DE} \| \mathrm{FH}$ ，
四边形 EFHD 为平行四边形，
可得 $\mathrm{EF} \| \mathrm{DH}$ ，
$\mathrm{EF} \not \subset$ 平面 $\mathrm{PCD}, \mathrm{DH} \subset$ 平面 PCD ，
即有 $\mathrm{EF} \|$ 平面 PCD ．

【点评】本题考查线面和面面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，以及面面垂直的判断和性质，注意运用转化思想，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题．