（20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的中心为直…——2009 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
解：
（I）设椭圆长半轴长及分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{c}$ ，由已知得
$\left\{\begin{array}{l}a-c=1 \\ a+c=7\end{array}\right.$ 解得 $\mathrm{a}=4, \mathrm{c}=3$ ，所以椭圆 C 的方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$ ．
（II）设M $(x, y), P\left(x, y_{1}\right)$ ，其中 $x \in[-4,4]$ ．由已知得 $\frac{x^{2}+y_{1}^{2}}{x^{2}+y^{2}}=e^{2}$ ．
而 $e=\frac{3}{4}$ ，故 $16\left(x^{2}+y_{1}^{2}\right)=9\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ．

由点 P 在椭圆 C 上得 $y_{1}^{2}=\frac{112-7 x^{2}}{16}$ ，

代入（1）式并化简得 $9 y^{2}=112$ ，所以点 M 的轨迹方程为 $y= \pm \frac{4 \sqrt{7}}{3}(-4 \leq x \leq 4)$ ，轨迹是两条平行于 x 轴的线段