（20）（本小题满分12分） 已知椭圆 C 的中心为直角坐…——2009 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
解：
（I）设椭圆长半轴长及半焦距分别为 $a, c$ ，由已知得
$\left\{\begin{array}{l}a-c=1 \\ a+c=7\end{array}\right.$ ，解得 $a=4, c=3$ ，
所以椭圆 $C$ 的标准方程为 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$
（II）设 $M(x, y)$ ，其中 $x \in[-4,4]$ 。由已知 $\frac{|O P|^{2}}{|O M|^{2}}=\lambda^{2}$ 及点 $P$ 在椭圆 $C$ 上可得 $\frac{9 x^{2}+112}{16\left(x^{2}+y^{2}\right)}=\lambda^{2}$ 。

整理得 $\left(16 \lambda^{2}-9\right) x^{2}+16 \lambda^{2} y^{2}=112$ ，其中 $x \in[-4,4]$ 。
（i）$\lambda=\frac{3}{4}$ 时。化简得 $9 y^{2}=112$
所以点 $M$ 的轨迹方程为 $y= \pm \frac{4 \sqrt{7}}{3}(-4 \leq x \leq 4)$ ，轨迹是两条平行于 $x$ 轴的线段。

（ii）$\lambda \neq \frac{3}{4}$ 时，方程变形为 $\frac{x^{2}}{\frac{112}{16 \lambda^{2}-9}}+\frac{y^{2}}{\frac{112}{16 \lambda^{2}}}=1$ ，其中 $x \in[-4,4]$
当 $0<\lambda<\frac{3}{4}$ 时，点 $M$ 的轨迹为中心在原点、实轴在 $y$ 轴上的双曲线满足 $-4 \leq x \leq 4$的部分。

当 $\frac{3}{4}<\lambda<1$ 时，点 $M$ 的轨迹为中心在原点、长轴在 $x$ 轴上的随圆满足 $-4 \leq x \leq 4$ 的部分；

当 $\lambda \geq 1$ 时，点 $M$ 的轨迹为中心在原点、长轴在 $x$ 轴上的椭圆；