2018_新课标 II 卷 (2018·理)
12．（5分）已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$A$ 是 $C$的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 的直线上，$\triangle \mathrm{PF}_{1} \mathrm{~F}_{2}$ 为等腰三角形，$\angle \mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2} \mathrm{P}= 120^{\circ}$ ，则 C 的离心率为
【考点】K4：椭圆的性质．
【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】求得直线 AP 的方程：根据题意求得 P 点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．
【解答】解：由题意可知：$A(-a, 0), F_{1}(-c, 0), F_{2}(c, 0)$ ，
直线 $A P$ 的方程为：$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(x+a)$ ，
由 $\angle F_{1} F_{2} P=120^{\circ},\left|P F_{2}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right|=2 c$ ，则 $P(2 c, \sqrt{3} c)$ ，
代入直线 $A P: \sqrt{3} c=\frac{\sqrt{3}}{6}(2 c+a)$ ，整理得：$a=4 c$ ，
∴ 题意的离心率 $\mathrm{e}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{1}{4}$ ．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题