（14）已知数列 a_ n 是递增的等比数列， a_ 1…——2015 高考数学第 14 题答案解析

【答案】 $2^{n}-1$
【解析】由题意，$\left\{\begin{array}{l}a_{1}+a_{4}=9 \\ a_{2} \cdot a_{3}=a_{1} \cdot a_{4}=8\end{array}\right.$ ，解得 $a_{1}=1, a_{4}=8$ 或者 $a_{1}=8, a_{4}=1$ ，而数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是速增的等比数列，所以 $a_{1}=1, a_{4}=8$ ，即 $q^{3}=\frac{a_{4}}{a_{1}}=8$ ，所以 $q=2$ ，因而数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和

$$ S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=\frac{1-2^{n}}{1-2}=2^{n}-1 $$

【考点定位】1．等比数列的性质；2．等比数列的前 $n$ 项和公式。
【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：（1）熟练掌握等差或等比数列的性质，尤其是 $m+n=p+q$ ，则 $a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}$（等差数列），$a_{m} \cdot a_{n}=a_{p} \cdot a_{q}$（等比数列）；（2）注意题目给定的限制条件，如本题中＂递增＂，说明 $q>1$ ；（3）要熟练掌握数列中相关的通项公式，前 $n$ 项和公式等。