（16分）（2015•江苏）设 a_ 1 , a_ 2 ,…——2015 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
（16分）

考点 等比关系的确定；等比数列的性质．
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专题 等差数列与等比数列．
：
分析（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；
：（2）利用反证法，假设存在 $a_{1}, d$ 使得 $a_{1}, ~ a_{2}{ }^{2}, ~ a_{3}{ }^{3}, ~ a_{4}{ }^{4}$ 依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；
（3）利用反证法，假设存在 $\mathrm{a}_{1}, ~ \mathrm{~d}$ 及正整数 $\mathrm{n}, ~ \mathrm{k}$ ，使得 $\mathrm{a}_{1}{ }^{\mathrm{n}}, ~ \mathrm{a}_{2}{ }^{\mathrm{n}+\mathrm{k}}, ~ \mathrm{a}_{3}{ }^{\mathrm{n}+2 \mathrm{k}}, ~ \mathrm{a}_{4}{ }^{\mathrm{n}+3 \mathrm{k}}$ 依次构成等比数列，得到 $a_{1}{ }^{n}\left(a_{1}+2 d\right){ }^{n+2 k}=\left(a_{1}+2 d\right){ }^{2(n+k)}$ ，且 $\left(a_{1}+d\right){ }^{n+k}\left(a_{1}+3 d\right){ }^{n} +3 k=\left(a_{1}+2 d\right) 2(n+2 k)$ ，利用等式以及对数的性质化简整理得到 $\ln (1+3 t) \ln (1+2 t) +3 \ln (1+2 \mathrm{t}) \ln (1+\mathrm{t})=4 \ln (1+3 \mathrm{t}) \ln (1+\mathrm{t}), ~(* *)$ ，多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立。
解答 解：（1）证明：$\because \frac{2^{a_{n+1}}}{2^{a_{n}}}=2^{a_{n+1}}-a_{n=2} d, \quad(n=1,2,3$,$) 是同一个常数,$
$\therefore 2^{\mathrm{a}_{1}}, 2{ }^{\mathrm{a}_{2}}, 2{ }^{\mathrm{a}_{3}}, 2{ }^{\mathrm{a}_{4}}$ 依次构成等比数列；
（2）令 $a_{1}+d=a$ ，则 $a_{1}, ~ a_{2}, ~ a_{3}, ~ a_{4}$ 分别为 $a-d, ~ a, ~ a+d, ~ a+2 d ~(a>d, ~ a>-2 d, ~ d \neq 0$ ）
假设存在 $a_{1}, d$ 使得 $a_{1}, ~ a_{2}{ }^{2}, ~ a_{3}{ }^{3}, ~ a_{4}{ }^{4}$ 依次构成等比数列，
则 $\mathrm{a}^{4}=(\mathrm{a}-\mathrm{d})(\mathrm{a}+\mathrm{d})^{3}$ ，且 $(\mathrm{a}+\mathrm{d})^{6}=\mathrm{a}^{2}(\mathrm{a}+2 \mathrm{~d})^{4}$ ，
令 $\mathrm{t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{a}}$ ，则 $1=(1-\mathrm{t}) \quad(1+\mathrm{t})^{3}$ ，且 $(1+\mathrm{t})^{6}=(1+2 \mathrm{t})^{4}, \quad\left(-\frac{1}{2}<\mathrm{t}<1, \mathrm{t} \neq 0\right)$ ，
化简得 $t^{3}+2 t^{2}-2=0(*)$ ，且 $t^{2}=t+1$ ，将 $t^{2}=t+1$ 代入（＊）式，
$\mathrm{t}(\mathrm{t}+1)+2(\mathrm{t}+1)-2=\mathrm{t}^{2}+3 \mathrm{t}=\mathrm{t}+1+3 \mathrm{t}=4 \mathrm{t}+1=0$ ，则 $\mathrm{t}=-\frac{1}{4}$ ，
显然 $\mathrm{t}=-\frac{1}{4}$ 不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在 $a_{1}, d$ ，使得 $a_{1}, a_{2}{ }^{2}, a_{3}{ }^{3}, a_{4}{ }^{4}$ 依次构成等比数列。
（3）假设存在 $a_{1}$ ，d及正整数 $n$ ，$k$ ，使得 $a_{1}{ }^{n}, ~ a_{2}{ }^{n+k}, ~ a_{3}{ }^{n+2 k}, ~ a_{4}{ }^{n+3 k}$ 依次构成等比数列，
则 $a_{1}{ }^{n}\left(a_{1}+2 d\right)^{n+2 k}=\left(a_{1}+2 d\right)^{2(n+k)}$ ，且 $\left(a_{1}+d\right)^{n+k}\left(a_{1}+3 d\right)^{n+3 k}=\left(a_{1}+2 d\right)^{2(n+2}$
，
分别在两个等式的两边同除以 $=a_{1}{ }^{2(n+k)}, ~ a_{1}{ }^{2(n+2 k)}$ ，并令 $t=\frac{d}{a_{1}}, ~\left(t>-\frac{1}{3}, t \neq 0\right)$ ，
则 $(1+2 \mathrm{t})^{\mathrm{n}+2 \mathrm{k}}=(1+\mathrm{t})^{2(\mathrm{n}+\mathrm{k})}$ ，且 $(1+\mathrm{t})^{\mathrm{n}+\mathrm{k}}(1+3 \mathrm{t})^{\mathrm{n}+3 \mathrm{k}}=(1+2 \mathrm{t})^{2(\mathrm{n}+2 \mathrm{k})}$ ，
将上述两个等式取对数，得 $(n+2 k) \ln (1+2 t)=2(n+k) \ln (1+t)$ ，
且 $(\mathrm{n}+\mathrm{k}) \ln (1+\mathrm{t})+(\mathrm{n}+3 \mathrm{k}) \ln (1+3 \mathrm{t})=2(\mathrm{n}+2 \mathrm{k}) \ln (1+2 \mathrm{t})$ ，
化简得， $2 k[\ln (1+2 t)-\ln (1+t)]=n[2 \ln (1+t)-\ln (1+2 t)]$ ，

且 $3 \mathrm{k}[\ln (1+3 \mathrm{t})-\ln (1+\mathrm{t})]=\mathrm{n}[3 \ln (1+\mathrm{t})-\ln (1+3 \mathrm{t})]$ ，
再将这两式相除，化简得，
$\ln (1+3 t) \ln (1+2 t)+3 \ln (1+2 t) \ln (1+t)=4 \ln (1+3 t) \ln (1+t), \quad(* *)$
令 $g(t)=4 \ln (1+3 t) \ln (1+t)-\ln (1+3 t) \ln (1+2 t)+3 \ln (1+2 t) \ln (1+t)$ ，
则 $g^{\prime}(t)=\frac{2}{(1+t)(1+2 t)(1+3 t)}\left[(1+3 t)^{2} \ln (1+3 t)-3(1+2 t)^{2} \ln (1+2 t\right.$
$\left.)+3(1+\mathrm{t}){ }^{2} \ln (1+\mathrm{t})\right]$ ，
令 $\varphi(\mathrm{t})=(1+3 \mathrm{t})^{2} \ln (1+3 \mathrm{t})-3(1+2 \mathrm{t}){ }^{2} \ln (1+2 \mathrm{t})+3(1+\mathrm{t}){ }^{2} \ln (1+\mathrm{t})$ ，
则 $\varphi^{\prime}(t)=6[(1+3 t) \ln (1+3 t)-2(1+2 t) \ln (1+2 t)+3(1+t) \ln (1+t)]$ ，
令 $\varphi_{1}(\mathrm{t})=\varphi^{\prime}(\mathrm{t})$ ，则 $\varphi_{1}^{\prime}(\mathrm{t})=6[3 \ln (1+3 \mathrm{t})-4 \ln (1+2 \mathrm{t})+\ln (1+\mathrm{t})]$ ，
令 $\varphi_{2}(\mathrm{t})=\varphi_{1}^{\prime}(\mathrm{t})$ ，则 $\varphi_{2}^{\prime}(\mathrm{t})=\frac{12}{(1+\mathrm{t})(1+2 \mathrm{t})(1+3 \mathrm{t})}>0$ ，
由g $(0)=\varphi(0)=\varphi_{1}(0)=\varphi_{2}(0)=0, \varphi_{2}^{\prime}(\mathrm{t})>0$ ，
知 $g(t), ~ \varphi(t), ~ \varphi_{1}(t), ~ \varphi_{2}(t)$ 在 $\left(-\frac{1}{3}, ~ 0\right)$ 和 $(0,+\infty)$ 上均单调，
故 $\mathrm{g}(\mathrm{t})$ 只有唯一的零点 $\mathrm{t}=0$ ，即方程（＊＊）只有唯一解 $\mathrm{t}=0$ ，故假设不成立，所以不存在 $a_{1}, d$ 及正整数 $n, k$ ，使得 $a_{1}{ }^{n}, ~ a_{2}{ }^{n+k}, ~ a_{3}{ }^{n+2 k}, ~ a_{4}{ }^{n+3 k}$ 依次构成等比数列。
点评 本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代
：数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．

## 三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21－

## 24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4－1：几何证明选讲】