已知函数 f(x)=2 ln x+1 ． （1）若 f(x…——2020 高考数学第 21 题答案解析

【答案】①$c \geq-1$ ；②$g(x)$ 在区间 $(0, a)$ 和 $(a,+\infty)$ 上单调递减，没有递增区间

## 【解析】

【分析】
（1）不等式 $f(x) \leq 2 x+c$ 转化为 $f(x)-2 x-c \leq 0$ ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；
（2）对函数 $g(x)$ 求导，把导函数 $g^{\prime}(x)$ 的分子构成一个新函数 $m(x)$ ，再求导得到 $m^{\prime}(x)$ ，根据 $m^{\prime}(x)$ 的正负，判断 $m(x)$ 的单调性，进而确定 $g^{\prime}(x)$ 的正负性，最后求出函数 $g(x)$ 的单调性。

【详解】（1）函数 $f(x)$ 的定义域为：$(0,+\infty)$
$f(x) \leq 2 x+c \Rightarrow f(x)-2 x-c \leq 0 \Rightarrow 2 \ln x+1-2 x-c \leq 0(*)$,
设 $h(x)=2 \ln x+1-2 x-c(x>0)$ ，则有 $h^{\prime}(x)=\frac{2}{x}-2=\frac{2(1-x)}{x}$ ，
当 $x>1$ 时，$h^{\prime}(x)<0, h(x)$ 单调递减，

当 $00, h(x)$ 单调递增，

所以当 $x=1$ 时，函数 $h(x)$ 有最大值，

即 $h(x)_{\text {max }}=h(1)=2 \ln 1+1-2 \times 1-c=-1-c$ ，

要想不等式（＊）在 $(0,+\infty)$ 上恒成立，

只需 $h(x)_{\text {max }} \leq 0 \Rightarrow-1-c \leq 0 \Rightarrow c \geq-1$ ；
②$g(x)=\frac{2 \ln x+1-(2 \ln a-1)}{x-a}=\frac{2(\ln x-\ln a)}{x-a}(x>0$ 且 $x \neq a)$
因此 $g^{\prime}(x)=\frac{2(x-a-x \ln x+x \ln a)}{x(x-a)^{2}}$ ，设 $m(x)=2(x-a-x \ln x+x \ln a)$ ，

则有 $m^{\prime}(x)=2(\ln a-\ln x)$ ，

当 $x>a$ 时， $\ln x>\ln a$ ，所以 $m^{\prime}(x)<0, m(x)$ 单调递减，因此有 $m(x)

当 $00, m(x)$ 单调递增，因此有 $m(x)

所以函数 $g(x)$ 在区间 $(0, a)$ 和 $(a,+\infty)$ 上单调递减，没有递增区间．
【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性 ，考查了数学运算能力，是中档题．