21．（12 分）（2008 • 山东）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{(1-\mathrm{x})^{\mathrm{n}}}+\mathrm{aln}(\mathrm{x}-1)$ ，其中 $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ，a为常数．
（I）当 $\mathrm{n}=2$ 时，求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的极值；
（II）当 $\mathrm{a}=1$ 时，证明：对任意的正整数 n ，当 $\mathrm{x} \geq 2$ 时，有 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq \mathrm{x}-1$ 。
参考答案
(1) 当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $x=1+\sqrt{\frac{2}{a}}$ 处取得极小值，极小值为 $f\left(1+\sqrt{\frac{2}{a}}\right)=\frac{a}{2}\left(1+\ln \frac{2}{a}\right)$ ． 当 $\mathrm{a} \leq 0$ 时， $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 无极值。; (2) 即 $f(x) \leq x-1$ 。