2009 ??高考数学 2009_退役省自主命题 (2009·理) 第 20 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

20．（12分）（2009•陕西）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln (\mathrm{ax}+1)+\frac{1-\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}, ~ \mathrm{x} \geq 0$ ，其中 $\mathrm{a}>0$ ．
（I）若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，求 $a$ 的值；
（II）求 $f(x)$ 的单调区间；
（III）若 $f(x)$ 的最小值为 1 ，求 $a$ 的取值范围．

Accepted Answer

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】常规题型；压轴题；转化思想．【分析】（I）对函数求导，令 $f^{\prime}①=0$ ，即可解出 $a$ 值．（II）$f^{\prime}(x)>0$ ，对 $a$ 的取值范围进行讨论，分类解出单调区间．$a \geq 2$ 时，在区间（ $0,+\infty$ ）上是增函数，（III）由②的结论根据单调性确定出最小值，当 $\mathrm{a} \geq 2$ 时，由（II）知， $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最小值为 $f(0)=1$ ，恒成立；当 $0 0$, $ herefore a x+1>0$ ①当 $a \geq 2$ 时，在区间 $(0,+\infty)$ 上 $f^{\prime}(x)>0$ ． $ herefore \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调增区间为 $(0,+\infty)$ ②当 $0 0$ 解得 $x>\sqrt{\frac{2-a}{a}}$ 由 $f^{\prime}(x)<0$ 解得 $x<\sqrt{\frac{2-a}{a}}$ $ herefore \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调减区间为 $\left(0, \sqrt{\frac{2-\mathrm{a}}{\mathrm{a}}} ight)$ ，单调增区间为 $\left(\sqrt{\frac{2-\mathrm{a}}{\mathrm{a}}},+\infty ight)$ （III）当 $a \geq 2$ 时，由（II）知，$f(x)$ 的最小值为 $f(0)=1$ 当 $0

2009 高考数学第 20 题答案解析

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