20．（12分）（2009•陕西）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln (\mathrm{ax}+1)+\frac{1-\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}, ~ \mathrm{x} \geq 0$ ，其中 $\mathrm{a}>0$ ．
（I）若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，求 $a$ 的值；
（II）求 $f(x)$ 的单调区间；
（III）若 $f(x)$ 的最小值为 1 ，求 $a$ 的取值范围．
参考答案
(1) a=1; (2) 当 $a \geq 2$ 时，在区间 $(0,+\infty)$ 上 $f^{\prime}(x)>0$ ． $\therefore \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调增区间为 $(0,+\infty)$ ②当 $0<a<2$ 时，由 $f^{\prime}(x)>0$ 解得 $x>\sqrt{\frac{2-a}{a}}$ 由 $f^{\prime}(x)<0$ 解得 $x<\sqrt{\frac{2-a}{a}}$ $\therefore \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调减区间为 $\left(0, \sqrt{\frac{2-\mathrm{a}}{\mathrm{a}}}\right)$ ，单调增区间为 $\left(\sqrt{\frac{2-\mathrm{a}}{\mathrm{a}}},+\infty\right)$; (3) $[2,+\infty)$