21．已知函数 $f(x)=\sin ^{2} x \sin 2 x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 在区间 $(0, \pi)$ 的单调性；
（2）证明：$|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ ；
③设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \ldots \sin ^{2} 2^{n} x \leq \frac{3^{n}}{4^{n}}$ ．
参考答案
①当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 时，$f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增，当 $x \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 时， $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减，当 $x \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right)$ 时，$f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增。（2）证明见解析；（3）证明见解析。 ##