已知函数 f(x)=sin ^ 2 x sin 2 x ．…——2020 高考数学第 21 题答案解析

【答案】①当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 时，$f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增，当 $x \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 时， $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减，当 $x \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right)$ 时，$f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增。（2）证明见解析；（3）证明见解析。

## 【解析】

## 【分析】

（1）首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；
（2）首先确定函数的周期性，然后结合（1）中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；
（3）对所给的不等式左侧进行恒等变形可得
$f(x)=\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}}$ ，然后结合（2 ）的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式。

【详解】①由函数的解析式可得：$f(x)=2 \sin ^{3} x \cos x$ ，则：
$f^{\prime}(x)=2\left(3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x-\sin ^{4} x\right)=2 \sin ^{2} x\left(3 \cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)$
$=2 \sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=2 \sin ^{2} x(2 \cos x+1)(2 \cos x-1)$ ，
$f^{\prime}(x)=0$ 在 $x \in(0, \pi)$ 上的根为：$\quad x_{1}=\frac{\pi}{3}, x_{2}=\frac{2 \pi}{3}$ ，
当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$ 时，$f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增，
当 $x \in\left(\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 时，$f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减，

当 $x \in\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right)$ 时，$f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增．
（2）注意到 $f(x+\pi)=\sin ^{2}(x+\pi) \sin [2(x+\pi)]=\sin ^{2} x \sin 2 x=f(x)$ ，
故函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的函数，

结合（1）的结论，计算可得：$f(0)=f(\pi)=0$ ，
$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{8}, \quad f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$,
据此可得：$[f(x)]_{\text {max }}=\frac{3 \sqrt{3}}{8},[f(x)]_{\text {min }}=-\frac{3 \sqrt{3}}{8}$ ，

即 $|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ ．

（3）结合（2）的结论有：

$$ \begin{aligned} & \sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \cdots \sin ^{2} 2^{n} x \\ & =\left[\sin ^{3} x \sin ^{3} 2 x \sin ^{3} 4 x \cdots \sin ^{3} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}} \\ & =\left[\sin x\left(\sin ^{2} x \sin 2 x\right)\left(\sin ^{2} 2 x \sin 4 x\right) \cdots\left(\sin ^{2} 2^{n-1} x \sin 2^{n} x\right) \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}} \\ & \leq\left[\sin x \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \cdots \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} \times \sin ^{2} 2^{n} x\right]^{\frac{2}{3}} \\ & \leq\left[\left(\frac{3 \sqrt{3}}{8}\right)^{n}\right]^{\frac{2}{3}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n} \end{aligned} $$

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题。（4）考查数形结合思想的应用。