设 a_ n 是公差不为 0 的无穷等差数列，则＂ a_…——2022 高考数学第 6 题答案解析

【答案】C
【解析】
【分析】设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $\boldsymbol{d}$ ，则 $d \neq 0$ ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论．

【详解】设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $\boldsymbol{d}$ ，则 $d \neq 0$ ，记 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数．
若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为单调递增数列，则 $d>0$ ，
若 $a_{1} \geq 0$ ，则当 $n \geq 2$ 时，$a_{n}>a_{1} \geq 0$ ；若 $a_{1}<0$ ，则 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$ ，
由 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d>0$ 可得 $n>1-\frac{a_{1}}{d}$ ，取 $N_{0}=\left[1-\frac{a_{1}}{d}\right]+1$ ，则当 $n>N_{0}$ 时，$a_{n}>0$ ，
所以，＂$\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列＂⇒＂存在正整数 $N_{0}$ ，当 $n>N_{0}$ 时，$a_{n}>0$＂；
若存在正整数 $N_{0}$ ，当 $n>N_{0}$ 时，$a_{n}>0$ ，取 $k \in \mathrm{~N}^{*}$ 且 $k>N_{0}, a_{k}>0$ ，
假设 $d<0$ ，令 $a_{n}=a_{k}+(n-k) d<0$ 可得 $n>k-\frac{a_{k}}{d}$ ，且 $k-\frac{a_{k}}{d}>k$ ，
当 $n>\left[k-\frac{a_{k}}{d}\right]+1$ 时，$a_{n}<0$ ，与题设矛盾，假设不成立，则 $d>0$ ，即数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列．

所以，＂$\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列＂$\Leftarrow$＂存在正整数 $N_{0}$ ，当 $n>N_{0}$ 时，$a_{n}>0$＂．
所以，＂$\left\{a_{n}\right\}$ 是递增数列＂是＂存在正整数 $N_{0}$ ，当 $n>N_{0}$ 时，$a_{n}>0$＂的充分必要条件．
故选：C．