（12分）（2011•辽宁）已知等差数列 a_ n 满足…——2011 高考数学第 17 题答案解析

【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．
【专题】综合题．
【分析】（I）
根据等差数列的通项公式化简 $\mathrm{a}_{2}=0$ 和 $\mathrm{a}_{6}+\mathrm{a}_{8}=-10$ ，得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；
（II）
把（I）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作①，然后给两边都除以 2 得另一个关系式记作②，①－②后，利用 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ 的通项公式及等比数列的前 n 项和的公式化简后，即可得到数列 $\left\{\frac{{ }^{a_{n}}}{2^{n-1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和的通项公式。

【解答】解：（I）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$ ，由已知条件可得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}+d=0 \\ 2 a_{1}+12 d=-10\end{array}\right.$ ，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a_{1}=1 \\ d=-1\end{array}\right.$ ，
故数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式为 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=2-\mathrm{n}$ ；
（II）设数列 $\left\{\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{2^{\mathrm{n}-1}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，即 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+\frac{\mathrm{a}_{2}}{2}+\cdots+\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{2^{\mathrm{n}-1}}①$ ，故 $\mathrm{S}_{1}=1$ ，
$\frac{S_{n}}{2}=\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{4}+\cdots+\frac{a_{n}}{2^{n}}②$,
当 $n>1$ 时，①－②得：
$\frac{S_{n}}{2}=a_{1}+\frac{a_{2}-a_{1}}{2}+\cdots+\frac{a_{n}-a_{n-1}}{2^{n-1}}-\frac{a_{n}}{2^{n}}$
$=1-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\right)-\frac{2-n}{2^{n}}$
$=1-\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)-\frac{2-n}{2^{n}}=\frac{n}{2^{n}}$ ，

所以 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2^{\mathrm{n}-1}}$ ，

综上，数列 $\left\{\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{2^{\mathrm{n}-1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2^{\mathrm{n}-1}}$ ．
【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，会利用错位相减法求数列的和，是一道中档题．