2010 全国高考数学 2010_旧全国 II 卷 (2010·文) 第 15 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

15．（5分）已知抛物线 $C: y^{2}=2 p x ~(p>0) ~$ 的准线，过 $M(1,0)$ 且斜率为 $\sqrt{3}$的直线与 $I$ 相交于 $A$ ，与 $C$ 的一个交点为 $B$ ，若 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ，则 $p=$ $\_\_\_\_$ 2。

Accepted Answer

2

【考点】K8：抛物线的性质． 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】设直线 $A B$ 的方程与抛物线方程联立消去 $y$ 得 $3 x^{2}+(-6-2 p) x+3=0$ ，进而根据 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ，可知 M 为 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 的中点， 可得 p 的关系式，解方程即可求得 p 。 【解答】解：设直线 $A B$ ：$y=\sqrt{3} x-\sqrt{3}$ ，代入 $y^{2}=2 p x$ 得 $3 x^{2}+(-6-2 p) x+3=0$ ， 又 $\because \overrightarrow{\mathrm{AM}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ ，即 $M$ 为 $A 、 B$ 的中点， $	herefore \mathrm{x}_{\mathrm{B}}+\left(-\frac{\mathrm{p}}{2}ight)=2$ ，即 $\mathrm{x}_{\mathrm{B}}=2+\frac{\mathrm{p}}{2}$ ， 得 $p^{2}+4 p-12=0$ ， 解得 $p=2, p=-6$（舍去） 故答案为： 2 【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．

2010 高考数学第 15 题答案解析

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