20．（12分）在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}+\frac{n+1}{2^{n}}$ ．
①设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．
（12分）在数列 a_ n 中， a_ 1 =1, a_…——2009 高考数学第 20 题答案解析
2009_旧全国 I 卷 (2009·理)
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【考点】8E：数列的求和； 8 H ：数列递推式．
【专题】11：计算题；15：综合题．
【分析】（1）由已知得 $\frac{a_{n+1}}{n+1}=\frac{a_{n}}{n}+\frac{1}{2^{n}}$ ，即 $b_{n+1}=b_{n}+\frac{1}{2^{n}}$ ，由此能够推导出所求的
通项公式。
（2）由题设知 $a_{n}=2 n-\frac{n}{2^{n-1}}$ ，故 $S_{n}=(2+4+\ldots+2 n)-\left(1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{4}{2^{3}}+\ldots+\frac{n}{2^{n-1}}\right)$ ，设 $T_{n}=1+\frac{2}{2^{1}}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{4}{2^{3}}+\ldots+\frac{n}{2^{n-1}}$ ，由错位相减法能求出 $T_{n}=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}$ ．从而导出数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 。
【解答】解：（1）由已知得 $b_{1}=a_{1}=1$ ，且 $\frac{a_{n+1}}{n+1}=\frac{a_{n}}{n}+\frac{1}{2^{n}}$ ，
即 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}+1}=\mathrm{b}_{\mathrm{n}}+\frac{1}{2^{\mathrm{n}}}$ ，从而 $\mathrm{b}_{2}=\mathrm{b}_{1}+\frac{1}{2}$ ，
$\mathrm{b}_{3}=\mathrm{b}_{2}+\frac{1}{2^{2}}$,
$b_{n}=b_{n-1}+\frac{1}{2^{n-1}} \quad(n \geq 2)$ ．
于是 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{b}_{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\ldots+\frac{1}{2^{\mathrm{n}-1}}=2-\frac{1}{2^{\mathrm{n}-1}}(\mathrm{n} \geq 2)$ ．
又 $\mathrm{b}_{1}=1$ ，
故所求的通项公式为 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=2-\frac{1}{2^{\mathrm{n}-1}}$ ．
②由①知 $a_{n}=2 n-\frac{n}{2^{n-1}}$ ，
故 $S_{n}=(2+4+\ldots+2 n)-\left(1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{4}{2^{3}}+\ldots+\frac{n}{2^{n-1}}\right)$ ，
设 $T_{n}=1+\frac{2}{2^{1}}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{4}{2^{3}}+\ldots+\frac{n}{2^{n-1}}$ ，
$\frac{1}{2} \mathrm{~T}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^{2}}+\frac{3}{2^{3}}+\ldots+\frac{\mathrm{n}-1}{2^{\mathrm{n}-1}}+\frac{\mathrm{n}}{2^{\mathrm{n}}}$ ，
①－②得，
$\frac{1}{2} \mathrm{~T}_{\mathrm{n}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\ldots+\frac{1}{2^{\mathrm{n}-1}}-\frac{\mathrm{n}}{2^{\mathrm{n}}}$
$=\frac{1-\frac{1}{2^{n}}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{2^{n}}=2-\frac{2}{2^{n}}-\frac{n}{2^{n}}$ ，
$\therefore \mathrm{T}_{\mathrm{n}}=4-\frac{\mathrm{n}+2}{2^{\mathrm{n}-1}}$ ．
$\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)+\frac{\mathrm{n}+2}{2^{\mathrm{n}-1}}-4$ 。
【点评】本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．
✅ 来源：2009年 · 全国 · 2009_旧全国 I 卷 (2009·理) · 第 20 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验
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（本小题满分 12 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项 $a_{n}=n^{2}\left(\cos ^{2} \frac{n \pi}{3}-\sin ^{2} \frac{n \pi}{3}\right)$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$
（1）求 $S_{n}$ ；
②$b_{n}=\frac{S_{3 n}}{n \cdot 4^{n}}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 n 项和 $T_{n}$ ．
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已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=1$ ，设 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和， $2 S_{n}=n a_{n}$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{a_{n}+1}{2^{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．
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已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1}=-\frac{9}{4}$ ，且 $4 S_{n+1}=3 S_{n}-9$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项；
②设数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $3 b_{n}+(n-4) a_{n}=0\left(n \in N^{*}\right)$ ，记 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} \leq \lambda b_{n}$ 对任意 $n \in \mathrm{~N}^{*}$ 恒成立，求实数 $\lambda$ 的取值范围．