2009 全国高考数学 2009_旧全国 I 卷 (2009·理) 第 20 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

20．（12分）在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}+\frac{n+1}{2^{n}}$ ．
①设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

Accepted Answer

【考点】8E：数列的求和； 8 H ：数列递推式． 【专题】11：计算题；15：综合题． 【分析】（1）由已知得 $\frac{a_{n+1}}{n+1}=\frac{a_{n}}{n}+\frac{1}{2^{n}}$ ，即 $b_{n+1}=b_{n}+\frac{1}{2^{n}}$ ，由此能够推导出所求的 通项公式。 （2）由题设知 $a_{n}=2 n-\frac{n}{2^{n-1}}$ ，故 $S_{n}=(2+4+\ldots+2 n)-\left(1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{4}{2^{3}}+\ldots+\frac{n}{2^{n-1}}\right)$ ，设 $T_{n}=1+\frac{2}{2^{1}}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{4}{2^{3}}+\ldots+\frac{n}{2^{n-1}}$ ，由错位相减法能求出 $T_{n}=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}$ ．从而导出数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 。 【解答】解：（1）由已知得 $b_{1}=a_{1}=1$ ，且 $\frac{a_{n+1}}{n+1}=\frac{a_{n}}{n}+\frac{1}{2^{n}}$ ， 即 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}+1}=\mathrm{b}_{\mathrm{n}}+\frac{1}{2^{\mathrm{n}}}$ ，从而 $\mathrm{b}_{2}=\mathrm{b}_{1}+\frac{1}{2}$ ， $\mathrm{b}_{3}=\mathrm{b}_{2}+\frac{1}{2^{2}}$, $b_{n}=b_{n-1}+\frac{1}{2^{n-1}} \quad(n \geq 2)$ ． 于是 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{b}_{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\ldots+\frac{1}{2^{\mathrm{n}-1}}=2-\frac{1}{2^{\mathrm{n}-1}}(\mathrm{n} \geq 2)$ ． 又 $\mathrm{b}_{1}=1$ ， 故所求的通项公式为 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=2-\frac{1}{2^{\mathrm{n}-1}}$ ． ②由①知 $a_{n}=2 n-\frac{n}{2^{n-1}}$ ， 故 $S_{n}=(2+4+\ldots+2 n)-\left(1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{4}{2^{3}}+\ldots+\frac{n}{2^{n-1}}\ri…

2009 高考数学第 20 题答案解析

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