（本小题满分 12 分） 数列 a_ n 的通项 a_ n…——2009 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
解：
（1）由于 $\cos ^{2} \frac{n \pi}{3}-\sin ^{2} \frac{n \pi}{3}=\cos \frac{2 n \pi}{3}$ ，
故 $S_{3 k}=\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)+\left(a_{4}+a_{5}+a_{6}\right)+\cdots+\left(a_{3 k-2}+a_{3 k-1}+a_{3 k}\right)$

$$ \begin{aligned} & \left.=\left(-\frac{1^{2}+2^{2}}{2}+3^{2}\right)+\left(-\frac{4^{2}+5^{2}}{2}+6^{2}\right)+\cdots+\left(-\frac{(3 k-2)^{2}+(3 k-1)^{2}}{2}+(3 k)^{2}\right)\right) \\ & =\frac{13}{2}+\frac{31}{2}+\cdots+\frac{18 k-5}{2}=\frac{k(9 k+4)}{2}, \\ S_{3 k-1}= & S_{3 k}-a_{3 k}=\frac{k(4-9 k)}{2}, \\ S_{3 k-2}= & S_{3 k-1}-a_{3 k-1}=\frac{k(4-9 k)}{2}+\frac{(3 k-1)^{2}}{2}=\frac{1}{2}-k=-\frac{3 k-2}{3}-\frac{1}{6}, \end{aligned} $$

故 $S_{n}= \begin{cases}\begin{array}{cl}-\frac{n}{3}-\frac{1}{6}, & n=3 k-2 \\ \frac{(n+1)(1-3 n)}{6}, & n=3 k-1 \\ \frac{n(3 n+4)}{6}, & n=3 k\end{array} \quad\left(k \in N^{*}\right)\end{cases}$
②$b_{n}=\frac{S_{3 n}}{n \cdot 4^{n}}=\frac{9 n+4}{2 \cdot 4^{n}}$ ，

$T_{n}=\frac{1}{2}\left[\frac{13}{4}+\frac{22}{4^{2}}+\cdots+\frac{9 n+4}{4^{n}}\right]$,
$4 T_{n}=\frac{1}{2}\left[13+\frac{22}{4}+\cdots+\frac{9 n+4}{4^{n-1}}\right]$,
两式相减得
$3 T_{n}=\frac{1}{2}\left[13+\frac{9}{4}+\cdots+\frac{9}{4^{n-1}}-\frac{9 n+4}{4^{n}}\right]=\frac{1}{2}\left[13+\frac{\frac{9}{4}-\frac{9}{4^{n}}}{1-\frac{1}{4}}-\frac{9 n+4}{4^{n}}\right]=8-\frac{1}{2^{2 n-3}}-\frac{9 n}{2^{2 n+1}}$,
故 $T_{n}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3 \cdot 2^{2 n-3}}-\frac{3 n}{2^{2 n+1}}$ ．