2015_上海卷 (2015·理)
23、（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分8分．
对于定义域为 R 的函数 $g(x)$，若存在正常数 T，使得 $\cos g(x)$ 是以 T 为周期的函数，则称 $g(x)$ 为余弦周期函数，且称 T 为其余弦周期。已知 $f(x)$ 是以 T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R．设 $f(x)$ 单调递增，$f(0)=0, f(\mathrm{~T})=4 \pi$．
（1）验证 $h(x)=x+\sin \frac{x}{3}$ 是以 $6 \pi$ 为周期的余弦周期函数；
②设 $a
【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析
【解析】证明：（1）易见 $h(x)=x+\sin \frac{x}{3}$ 的定义域为 R，
对任意 $x \in \mathrm{R}, h(x+6 \pi)=x+6 \pi+\sin \frac{x+6 \pi}{3}=h(x)+6 \pi$，
所以 $\cos h(x+6 \pi)=\cos (h(x)+6 \pi)=\cos h(x)$，
即 $h(x)$ 是以 $6 \pi$ 为余弦周期的余弦周期函数。
（2）由于 $f(x)$ 的值域为 R，所以对任意 $c \in[f(a), f(b)], c$ 都是一个函数值，即有 $x_{0} \in \mathrm{R}$，使得 $f\left(x_{0}\right)=c$.
若 $x_{0}
$\cos f\left(u_{0}+\mathrm{T}\right)=\cos f\left(u_{0}\right)=1$，即 $u_{0}+\mathrm{T}$ 为方程 $\cos f(x)=1$ 在 $[\mathrm{T}, 2 \mathrm{~T}]$ 上的解
同理，若 $u_{0}+\mathrm{T}$ 为方程 $\cos f(x)=1$ 在 $[\mathrm{T}, 2 \mathrm{~T}]$ 上的解，则 $u_{0}$ 为该方程在 $[0, \mathrm{~T}]$ 上的解．
以下证明最后一部分结论．
由②所证知存在 $0=x_{0}
与之前类似地可以证明：$u_{0}$ 是 $\cos f(x)=-1$ 在 $[0, \mathrm{~T}]$ 上的解当且仅当 $u_{0}+\mathrm{T}$ 是 $\cos f(x)=-1$ 在 $[\mathrm{T}, 2 \mathrm{~T}]$ 上的解．从而 $\cos f(x)= \pm 1$ 在 $[0, \mathrm{~T}]$ 与 $[\mathrm{T}, 2 \mathrm{~T}]$ 上的解的个数相同．
故 $f\left(x_{i}+\mathrm{T}\right)=f\left(x_{i}\right)+4 \pi, i=0,1,2,3,4$．
对于 $x \in\left[0, x_{1}\right], f(x) \in[0, \pi], \quad f(x+\mathrm{T}) \in[4 \pi, 5 \pi]$，
而 $\cos f(x+\mathrm{T})=\cos f(x)$，故 $f(x+\mathrm{T})=f(x)+4 \pi=f(x)+f(\mathrm{~T})$．
类似地，当 $x \in\left[x_{i}, x_{i+1}\right], i=1,2,3$ 时，有 $f(x+\mathrm{T})=f(x)+f(\mathrm{~T})$．
结论成立。
【考点定位】新定义问题