（14分）【选修4－－5；不等式选讲】 设 a, b, c…——2013 高考数学第 24 题答案解析

（I）由基本不等式可知：
$a^2+b^2 \geqslant 2ab$，
$b^2+c^2 \geqslant 2bc$，
$c^2+a^2 \geqslant 2ca$．
将上述三式相加，得 $2(a^2+b^2+c^2) \geqslant 2(ab+bc+ca)$，即 $a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$．

又因为 $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) = 1$，
所以 $1 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \geqslant (ab+bc+ca)+2(ab+bc+ca) = 3(ab+bc+ca)$．
即 $3(ab+bc+ca) \leqslant 1$，故 $ab+bc+ca \leqslant \frac{1}{3}$．
当且仅当 $a=b=c=\frac{1}{3}$ 时，等号成立．

（II）因为 $a,b,c$ 均为正数，由基本不等式可得：
$\frac{a^2}{b}+b \geqslant 2\sqrt{\frac{a^2}{b} \cdot b} = 2a$，
$\frac{b^2}{c}+c \geqslant 2\sqrt{\frac{b^2}{c} \cdot c} = 2b$，
$\frac{c^2}{a}+a \geqslant 2\sqrt{\frac{c^2}{a} \cdot a} = 2c$．
将上述三式相加，得：
$(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}) + (a+b+c) \geqslant 2(a+b+c)$．
移项整理得：
$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geqslant a+b+c$．
已知 $a+b+c=1$，
所以 $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geqslant 1$．
当且仅当 $a=b=c=\frac{1}{3}$ 时，等号成立．