（5分）直线 I_ 1 和 I_ 2 是圆 x^ 2 +y…——2014 高考数学第 16 题答案解析

【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．
【专题】5B：直线与圆．
【分析】设 $\mathrm{I}_{1}$ 与 $\mathrm{I}_{2}$ 的夹角为 $2 \theta$ ，由于 $\mathrm{I}_{1}$ 与 $\mathrm{I}_{2}$ 的交点 $\mathrm{A}(1,3)$ 在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得 $\sin \theta=\frac{r}{\mathrm{OA}}$ 的值，可得 $\cos \theta , \tan \theta$的值，再根据 $\tan 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}$ ，计算求得结果。
【解答】解：设 $\mathrm{I}_{1}$ 与 $\mathrm{I}_{2}$ 的夹角为 $2 \theta$ ，由于 $\mathrm{I}_{1}$ 与 $\mathrm{I}_{2}$ 的交点 $\mathrm{A}(1,3)$ 在圆的外部，且点 $A$ 与圆心 $O$ 之间的距离为 $O A=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$ ，

圆的半径为 $r=\sqrt{2}$ ，
$\therefore \sin \theta=\frac{r}{\mathrm{OA}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$ ，
$\therefore \cos \theta=\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{10}}, \quad \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{1}{2}$,
$\therefore \tan 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$ ，
故答案为：$\frac{4}{3}$ ．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题。