（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x )= (…——2014 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）$f(x)$ 在 $x=-2$ 取极小值 0 ，在 $x=0$ ．取极大值 4．②$\left(-\infty, \frac{1}{9}\right]$ ．

## 【解析】

试题分析：（1）求函数极值，首先明确其定义域：$x \in\left(-\infty, \frac{1}{2}\right)$ ，然后求导数：当 $\mathrm{b}=4$ 时，$f^{\prime}(x)=\frac{-5 x(x+2)}{\sqrt{1-2 x}}$ ，再在定义域下求导函数的零点：$x=-2$ 或 $x=0$ 。根据导数符号变化规律，确定极值：当 $x \in(-\infty,-2)$ 时， $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调迷减，当 $x \in(-2,0)$ 时，$f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调速增，当 $x \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 时，$f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减，故 $f(x)$ 在 $x=-2$ 取极小值 0 ，在 $x=0$ ．取话大值 4．②已知函数单调性，求参数取值范围，一般转化为对应导数恒非负，再利用变量分离求最值。由题息得 $f^{\prime}(x)=\frac{-x(5 x+3 b-2)}{\sqrt{1-2 x}} \geq 0$ 对 $x \in\left(0, \frac{1}{3}\right)$ 恒成立，即 $5 x+3 b-2 \leq 0$ 对 $x \in\left(0, \frac{1}{3}\right)$ 恒成立，即 $b \leq\left(\frac{2-5 x}{3}\right)_{\max }, x \in\left(0, \frac{1}{3}\right)$ ，即 $b \leq \frac{1}{9}$ ．

试题解析：（1）当 $\mathrm{b}=4$ 时，$f^{\prime}(x)=\frac{-5 x(x+2)}{\sqrt{1-2 x}}$ ，由 $f^{\prime}(x)=0$ 得 $x=-2$ 或 $x=0$ ．
当 $x \in(-\infty,-2)$ 时，$f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调误啛，当 $x \in(-2,0)$ 时，$f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调迷增，当 $x \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 时， $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调迷减，故 $f(x)$ 在 $x=-2$ 取极小值 $0, ~$ 位 $x=0$ ．取极大值 4 ．
②$f^{\prime}(x)=\frac{-x(5 x+3 b-2)}{\sqrt{1-2 x}}$ ，因为当 $x \in\left(0, \frac{1}{3}\right)+\frac{-x}{\sqrt{1-2 x}}<0$
依题意当 $x \in\left(0, \frac{1}{3}\right)$ 时，有 $5 x+3 b-2 \leq 0$ ，从而 $\frac{5}{3}+30-2 \leq 0$

所以 b 的取值范围为 $\left(-\infty, \frac{1}{9}\right]$ ．
考点：利用导数求极值，利用导数求参数取值范围