（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-A B C D…——2014 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）详见解析，（2）$A B=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 时，四棱锥的体积 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 最大．平面 BPC 与平面 DPC 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ．

【解析】

试题分析：（1）先将面面垂直转化为线面垂直： ABCD 为矩形，故 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{AD}$ ，又平面 $\mathrm{PAD} \perp$ 平面 ABCD ，平面 $\mathrm{PAD} \cap$ 平面 $\mathrm{ABCD}=\mathrm{AD}$ ，所以 $\mathrm{AB} \perp$ 平面 PAD ，平相居线面垂直证线线垂直：因为 $\mathrm{PD} \subset$ 平面 PAD ，所以 $A B \perp P D$
（2）求四棱锥体积，关键要作出高。这可利円而面垂直性「定理：过 2 作 AD 的垂线，垂足为 O ，又平面 $\mathrm{PAD} \perp$平面 ABCD ，平面 $\mathrm{PAD} \cap$ 平面 $\mathrm{ABCD}=\mathrm{AD}$ ，所以 $\mathrm{PO} \perp$ 平面 ABCD ，下面用 $A B$ 表示高及底面积：设 $A B=m$ ，则 $D P=\sqrt{P G^{2}-O G^{2}}=\sqrt{\frac{4}{3}-m^{2}}$ ，故四胘雉 P－ABCD 的体积为
$V=\frac{1}{3} \cdot \sqrt{6} \cdot m \cdot \sqrt{\frac{4}{3}-m^{2}}=\frac{m}{3} \sqrt{8-6 m^{2}}$ 。故当 $m=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 时，即 $A B=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 时，四棱锥的体积 P－A BCD 最大。

求二面角的余弦值，可利用空间向量求解，根据题意可建立空间坐标系，分别求出平面 BPC 的法向量及平面 DPC 的法向量，再利用向量数 量积求夹角余弦值即可。

试题解析：（1）证明： ABCD 为矩形，故 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{AD}$ ，
又平面 $\mathrm{PAD} \perp$ 平面 ABCD
平面 $\mathrm{PAD} \cap$ 平面 $\mathrm{ABCD}=\mathrm{AD}$
所以 $\mathrm{AB} \perp$ 平面 PAD ，因为 $\mathrm{PD} \subset$ 平面 PAD ，故 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{PD}$
（2）解：过 P 作 AD 的垂线，垂足为 O ，过 O 作 BC 的垂线，垂足为 G ，连接 PG
故 $\mathrm{PO} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{BC} \perp$ 平面 $\mathrm{POG}, \mathrm{BC} \perp \mathrm{PG}$
在直角三角形 BPC 中，$P G=\frac{2 \sqrt{3}}{3}, C \mathrm{C}=\frac{2 \sqrt{6}}{3}, B G=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，
设 $A B=m$ ，则 $D P=\sqrt{P G^{2}-O G^{2}}=\sqrt{\frac{4}{3}}-\eta^{2}$ ，故四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 的体积为
$V=\frac{1}{3} \cdot \sqrt{6} \cdot m \cdot \sqrt{\frac{4}{3}-m^{2}}=\frac{m}{3} \sqrt{8-6 m^{2}}$.
因为 $m \sqrt{8-6 m^{2}}=\sqrt{-6\left(m^{2}-\frac{2}{3}\right)^{2}+\frac{8}{3}}$
故当 $m=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 时，即 $A B=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 时，四棱锥的体积 P -ABCD 最大。

建立如图所示的空间直角坐标系，$O(C, 0,0), B\left(\frac{\sqrt{6}}{3},-\frac{\sqrt{6}}{3}, C\right), C\left(\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{2 \sqrt{6}}{3}, 0\right), D\left(0, \frac{2 \sqrt{6}}{3}, 0\right), P\left(0,0, \frac{\sqrt{6}}{3}\right)$
故 $\overline{P C}=\left(\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{2 \sqrt{6}}{3},-\frac{\sqrt{6}}{3}\right), \overline{B C}=(0, \sqrt{6}, 0), \overline{C D}=\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}, 0,0\right)$
设平面 BPC 的法向量 $\mathbf{n}_{1}=(x, y, 1)$ ，则由 $\mathbf{n}_{1} \perp \overline{P C} \cdot \mathbf{n}_{1} \perp \overline{B C}$ 得 $\left\{\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{3} x+\frac{2 \sqrt{6}}{3} y-\frac{\sqrt{6}}{3}=0 \\ \sqrt{6} y=0\end{array}\right.$
解得 $x=1, y=0, \mathbf{n}_{1}=(1,0,1)$ ，
同理可求出平面 DPC 的法向量 $\mathbf{n}_{2}=\left(0, \frac{1}{2}, 1\right)$ ，从而平面 BPC 与平面 DPC 夹角 $\theta$ 的余弦值为

$\cos \theta=\frac{\mathbf{n}_{1} \cdot \mathbf{n}_{2}}{\left|\mathbf{n}_{1}\right| \cdot\left|\mathbf{n}_{2}\right|}=\frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}+1}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$.
考点：面面垂直性质定理，四棱锥体积，利用空间向量求二面角