（本小题满分 14 分）设函数 f(x)= 1 (x^ 2…——2014 高考数学第 21 题答案解析

【解答】
（本题14分）设函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\left(x^{2}+2 x+k\right)^{2}+2\left(x^{2}+2 x+k\right)-3}}$ ，其中 $k<-2$ ，
（1）求函数 $f(x)$ 的定义域D；（用区间表示）
（2）讨论 $f(x)$ 在区间 D 上的单调性；
（3）若 $k<-6$ ，求 D 上满足条件 $f(x)>f(1)$ 的 $x$ 的集合。

【解答】
解：（1）可知 $\left(x^{2}+2 x+k\right)^{2}+2\left(x^{2}+2 x+k\right)-3>0$ ，
$\therefore\left[\left(x^{2}+2 x+k\right)+3\right] \cdot\left[\left(x^{2}+2 x+k\right)-1\right]>0$ ，
$\therefore x^{2}+2 x+k<-3$ 或 $x^{2}+2 x+k>1$ ，
$\therefore(x+1)^{2}<-2-k(-2-k>0)$ 或 $(x+1)^{2}>2-k(2-k>0)$ ，
$\therefore|x+1|<\sqrt{-2-k}$ 或 $|x+1|>\sqrt{2-k}$ ，
$\therefore-1-\sqrt{-2-k}-1+\sqrt{2-k}$ ，
所以函数 $f(x)$ 的定义域 D 为
$(-\infty,-1-\sqrt{2-k}) \cup(-1-\sqrt{-2-k},-1+\sqrt{-2-k}) \cup(-1+\sqrt{2-k},+\infty)$ ；
（2）$f^{\prime}(x)=-\frac{2\left(x^{2}+2 x+k\right)(2 x+2)+2(2 x+2)}{2{\sqrt{\left(x^{2}+2 x+k\right)^{2}+2\left(x^{2}+2 x+k\right)-3}}^{3}}$
$=-\frac{\left(x^{2}+2 x+k+1\right)(2 x+2)}{{\sqrt{\left(x^{2}+2 x+k\right)^{2}+2\left(x^{2}+2 x+k\right)-3}}^{3}}$ ，
由 $f^{\prime}(x)>0$ 得 $\left(x^{2}+2 x+k+1\right)(2 x+2)<0$ ，即 $(x+1+\sqrt{k})(x+1-\sqrt{k})(x+1)<0$ ，
$\therefore x<-1-\sqrt{-k}$ 或 $-1所以函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty,-1-\sqrt{2-k}),(-1,-1+\sqrt{-2-k})$ ，
同理递减区间为 $(-1-\sqrt{-2-k},-1),(-1+\sqrt{2-k},+\infty)$ ；
（ 3 ）由 $f(x)=f(1)$ 得 $\left(x^{2}+2 x+k\right)^{2}+2\left(x^{2}+2 x+k\right)-3=(3+k)^{2}+2(3+k)-3$ ，
$\therefore\left[\left(x^{2}+2 x+k\right)^{2}-(3+k)^{2}\right]+2\left[\left(x^{2}+2 x+k\right)-(3+k)\right]=0$ ，
$\therefore\left(x^{2}+2 x+2 k+5\right) \cdot\left(x^{2}+2 x-3\right)=0$ ，
$\therefore(x+1+\sqrt{-2 k-4})(x+1-\sqrt{-2 k-4}) \cdot(x+3)(x-1)=0$ ，
$\therefore x=-1-\sqrt{-2 k-4}$ 或 $x=-1+\sqrt{-2 k-4}$ 或 $x=-3$ 或 $x=1$ ，
$\because k<-6, \quad \therefore 1 \in(-1,-1+\sqrt{-2-k}),-3 \in(-1-\sqrt{-2-k},-1)$ ，
$-1-\sqrt{-2 k-4}<-1-\sqrt{2-k},-1+\sqrt{-2 k-4}>-1+\sqrt{2-k}$,
结合函数 $f(x)$ 的单调性知 $f(x)>f(1)$ 的解集为

$(-1-\sqrt{-2 k-4},-1-\sqrt{2-k}) \cup(-1-\sqrt{-2-k},-3) \cup(1,-1+\sqrt{-2-k}) \cup (-1+\sqrt{2-k},-1+\sqrt{-2 k-4})$ ．