（本小题满分 13 分） 设函数 f(x)=x- 1 x…——2011 高考数学第 22 题答案解析

【解答】
（2011 • 湖南）设函数 $f(x)=x-\frac{1}{x}-a \operatorname{In} x(a \in R)$ ．
（I）讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
（II）若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，记过点 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right), B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 的直线斜率为 $k$ 。问：是否存在 $a$ ，使得 $k=2-a$ ？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由．

考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件。
专题：计算题；综合题；压轴题；分类讨论。
分析：（I）求导，令导数等于零，解方程，跟据 $f^{\prime}(x) f(x)$ 随 $x$ 的变化情况即可求出函数的单调区间；
（II）假设存在 $a$ ，使得 $k=2-a$ ，根据 $(I)$ 利用韦达定理求出直线斜率为 $k$ ，根据 $(I)$ 函数的单调性，推出矛盾，即可解决问题。

解答：解：$(I) f(x)$ 定义域为 $(0,+\infty)$ ，
$f^{\prime}(x)=1+\frac{1}{x^{2}}-\frac{a}{x}=\frac{x^{2}-a x+1}{x^{2}}$,
令 $g(x)=x^{2}-a x+1, \Delta=a^{2}-4$ ，

①当 $-2 \leqslant a \leqslant 2$ 时，$\triangle \leqslant 0, f^{\prime}(x) \geqslant 0$ ，故 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，
②当 $a<-2$ 时，$\triangle>0, g(x)=0$ 的两根都小于零，在 $(0,+\infty)$ 上，$f^{\prime}(x)>0$ ，故 $f(x)$ 在 $(0,+ \infty$ ）上单调递增，
③当 $a>2$ 时，$\triangle>0, g(x)=0$ 的两根为 $x_{1}=\frac{a-\sqrt{a^{2}-4}}{2}, x_{2}=\frac{a+\sqrt{a^{2}-4}}{2}$ ，
当 $00$ ；当 $x_{1}x_{2}$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ；
故 $f(x)$ 分别在 $\left(0, x_{1}\right),\left(x_{2},+\infty\right)$ 上单调递增，在 $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 上单调递减．
（II）由（I）知，$a>2$ ．

因为 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)+\frac{x_{1}-x_{2}}{x_{1} x_{2}}-a\left(\ln x_{1}-\ln x_{2}\right)$ ，

所以 $k=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1} x_{2}}=1+\frac{1}{x_{1} x_{2}}-a \frac{\ln x_{1}-\ln x_{2}}{x_{1}-x_{2}}$ ，
又由 $(I)$ 知，$x_{1} x_{2}=1$ ．于是
$k=2-a \frac{\ln x_{1}-\ln x_{2}}{x_{1}-x_{2}}$ ，
若存在 $a$ ，使得 $k=2-a$ ，则 $\frac{\ln x_{1}-\ln x_{2}}{x_{1}-x_{2}}=1$ ，即 $\ln x_{1}-\ln x_{2}=x_{1}-x_{2}$ ，

亦即 $x_{2}-\frac{1}{x_{2}}-2 \ln x_{2}=0\left(x_{2}>1\right)(*)$
再由 $(I)$ 知，，函数 $h(t)=t-\frac{1}{t}-2 \operatorname{Int}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，
而 $x_{2}>1$ ，
所以 $x_{2}-\frac{1}{x_{2}}-2 \operatorname{In} x_{2}>1-1-2 \ln 1=0$ ，这与（＊）式矛盾，
故不存在 $a$ ，使得 $k=2-a$ ．
点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程 $f^{\prime}(x)=0$ 有无实根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，其中问题（II）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力。