（本小题满分13分） 已知函数 f(x)= a x +x+…——2010 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
（13分）（2010•湖南）已知函数 $f(x)=\frac{\mathrm{a}_{+}}{\mathrm{x}}+(a-1) \ln x+15 a$ ，其中 $a<0$ ，且 $a \neq-1$
（I）讨论函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调性；
（II）设函数 $g(x)= \begin{cases}\left(-2 x^{3}+3 a x^{2}+6 a x-4 a^{2}-6 a\right) & e^{x}(x \leqslant 1) \\ e \cdot f(x) & (x>1)\end{cases}$
（e是自然对数的底数），是否存在 a ，使 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 在 $[\mathrm{a}$ ，-a$]$ 上是减函数？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（ I ）先求出函数的定义域，然后求出 $f^{\prime}(x)=0$ 得到函数的稳定点，讨论 $a$ 的大小得到导函数的大小即可得到函数的单调区间；
（II）存在 $a$ ，令 $h(x))=\left(-2 x^{3}+3 a x^{2}+6 a x-4 a^{2}-6 a\right) e^{x}(x \in R)$ ，求出导函数，然后再令 $m(x)=-2 x^{3}+3(a-2) x^{2}+12 a x-4 a^{2}(x \in R)$ ，讨论 $g(x)$ 在 $[a,-a]$ 上为减函数，

当且仅当 $f(x)$ 在 $[1,-a]$ 上为减函数，$h(x)$ 在 $[a, 1]$ 上为减函数，且 $h① \geq e \cdot f(1)$ 得到三个关于 a 范围的式子，求出解集即可得到 a 的范围。

【解答】解：（I ）$f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty) . f^{\prime}(x)=-\frac{a}{x^{2}}+1+\frac{a-1}{x}=$
$\frac{(x+a)(x-1)}{x^{2}}$,
（1）若 $-10$ ；当 $-a1$ 时 ,$f^{\prime}(x)>0$ ．故 $f(x)$ 分别在 $(0,-a),(1,+\infty)$ 上单调递增，在 $(-a, 1)$ 上单调递减。
②若 $\mathrm{a}<-1$ ，仿①可得 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 分别在 $(0,1),(-\mathrm{a},+\infty)$ 上单调递增，在（1，－ a$)$上单调递减；
（II）存在 a ，使 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 在 $[\mathrm{a},-\mathrm{a}]$ 上为减函数。
事实上，设 $h(x)=\left(-2 x^{3}+3 a x^{2}+6 a x-4 a^{2}-6 a\right) e^{x}(x \in R)$ ，
则 $h^{\prime}(x)=\left[-2 x^{3}+3(a-2) x^{2}+12 a x-4 a^{2}\right] e^{x}$
再设 $m(x)=-2 x^{3}+3(a-2) x^{2}+12 a x-4 a^{2}(x \in R)$ ，
则 $g(x)$ 在 $[a,-a]$ 上单调递减时，$h(x)$ 必在 $[a, 0]$ 上单调递减所以 $h^{\prime}(a) \leq 0$ ，由于 $e^{x}>$ 0，
因此 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 在 $[\mathrm{a}, \quad-\mathrm{a}]$ 上为减函数，
当且仅当 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $[1,-\mathrm{a}]$ 上为减函数， $\mathrm{h}(\mathrm{x})$ 在 $[\mathrm{a}, 1]$ 上为减函数，且 $\mathrm{h}(1) \geq \mathrm{e} \bullet \mathrm{f}(1)$ 。
由①知，当 $a \leq-2$①时，$f(x)$ 在 $[1,-a]$ 上为减函数．又 $h(1) \geq e \bullet(1) \Leftrightarrow 4 a^{2}+13 a+3$
$\leq 0 \Leftrightarrow-3 \leq \mathrm{a} \leq-\frac{1}{4}②$
不难知道，$\forall x \in[a, 1], h^{\prime}(x) \leq 0 \Leftrightarrow \forall x \in[a, 1], m(x) \leq 0$ ，因 $m^{\prime}(x)=-6 x^{2}+6(a-2) x +12 a=-6(x+2)(x-a)$ ，令 $m^{\prime}(x)=0$ ，则 $x=a$ ，或 $x=-2$ ．而 $a \leq-2$ ，于是
（p）当 $a<-2$ 时，若 $a0$ ；若 $-2（ $-2,1$ ）上单调递减。
（q）当 $a=-2$ 时，$m^{\prime}(x) \leq 0, ~ m(x)$ 在 $(-2, ~ 1)$ 上单调递减。
综合（ $p$ ）（ $q$ ）知，当 $a \leq-2$ 时，$m(x)$ 在 $[a, 1]$ 上的最大值为 $m(-2)=-4 a^{2}-12 a-8$ 。
所以 $\forall x \in[a, 1], m(x) \leq 0$
$\Leftrightarrow \mathrm{m}(-2) \leq 0 \Leftrightarrow-4 \mathrm{a}^{2}-12 \mathrm{a}-8 \leq 0 \Leftrightarrow \mathrm{a} \leq-2$③，
又对 $x \in[a, 1], m(x)=0$ 只有当 $a=-2$ 时在 $x=-2$ 取得，亦即 $h^{\prime}(x)=0$ 只有当 $a=-2$ 时在 $x=$ -2 取得．因此，当 $a \leq-2$ 时，$h(x)$ 在 $[a, 1]$ 上为减函数．
从而有①，②，（3）知，$-3 \leq \mathrm{a} \leq-2$
综上所述，存在 a ，使 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 在 $[\mathrm{a},-\mathrm{a}]$ 上为减函数，且 a 的取值范围为 $[-3,-2]$ ．
【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，运用分类讨论的数学思想解决数学问题的能力。