（14 分）已知 A, B, C 是椭圆 W: x^ 2…——2013 高考数学第 19 题答案解析

【考点】K4：椭圆的性质．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）根据 B 的坐标为 $(2,0)$ 且 AC 是 OB 的垂直平分线，结合椭圆方程算出 $\mathrm{A} , \mathrm{C}$ 两点的坐标，从而得到线段 AC 的长等于 $\sqrt{3}$ ．再结合 OB 的长为 2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形 OABC 的面积；
（II）若四边形 $O A B C$ 为菱形，根据 $|O A|=|O C|$ 与椭圆的方程联解，算出 $A$ 、 $C$ 的

横坐标满足 $\frac{3 x^{2}}{4}=r^{2}-1$ ，从而得到 $A , C$ 的横坐标相等或互为相反数。再分两种情况加以讨论，即可得到当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能为菱形。

【解答】解：（1）∵ 四边形 $O A B C$ 为菱形，$B$ 是椭圆的右顶点（ 2,0 ）
∴ 直线 $A C$ 是 $B O$ 的垂直平分线，可得 $A C$ 方程为 $x=1$
设 $A(1, t)$ ，得 $\frac{1^{2}}{4}+t^{2}=1$ ，解之得 $t=\frac{\sqrt{3}}{2}$（舍负）
$\therefore \mathrm{A}$ 的坐标为 $\left(1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ，同理可得 C 的坐标为 $\left(1,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
因此，$|\mathrm{AC}|=\sqrt{3}$ ，可得菱形 OABC 的面积为 $\mathrm{S}=\frac{1}{2}|\mathrm{AC}| \bullet|\mathrm{BO}|=\sqrt{3}$ ；
（II）∵ 四边形 OABC 为菱形，$\therefore|\mathrm{OA}|=|\mathrm{OC}|$ ，
设 $|O A|=|O C|=r(r>1)$ ，得 $A , C$ 两点是圆 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
与椭圆W：$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 的公共点，解之得 $\frac{3 x^{2}}{4}=r^{2}-1$
设 $A , C$ 两点横坐标分别为 $x_{1} , x_{2}$ ，可得 $A , C$ 两点的横坐标满足
$\mathrm{x}_{1}=\mathrm{x}_{2}=\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{\mathrm{r}^{2}-1}$ ，或 $\mathrm{x}_{1}=\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{\mathrm{r}^{2}-1}$ 且 $\mathrm{x}_{2}=-\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{\mathrm{r}^{2}-1}$ ，
①当 $x_{1}=x_{2}=\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{r^{2}-1}$ 时，可得若四边形 $O A B C$ 为菱形，则 $B$ 点必定是右顶点 $(2,0)$ ；
②若 $x_{1}=\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{r^{2}-1}$ 且 $x_{2}=-\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{r^{2}-1}$ ，则 $x_{1}+x_{2}=0$ ，
可得 $A C$ 的中点必定是原点 $O$ ，因此 $A , O , C$ 共线，可得不存在满足条件的菱形 OABC

综上所述，可得当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能为菱形。

【点评】本题给出椭圆方程，探讨了以坐标原点 O 为一个顶点，其它三个顶点在椭圆上的菱形问题，着重考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何

性质等知识，属于中档题．