在平面直角坐标系 x O y 中，若双曲线 x^ 2 m…——2012 高考数学第 8 题答案解析

【解答】
（ 5 分）（ $2012 \cdot$ 江苏）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{m^{2}+4}=1$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则 m 的值为 $\_\_\_\_$ 2 ．

考点 双曲线的简单性质．
：
专题 圆锥曲线的定义、性质与方程．
：
分析 由双曲线方程得 $y^{2}$ 的分母 $m^{2}+4>0$ ，所以双曲线的焦点必在 $x$ 轴上。因此 $a^{2}=m>0$ ，可
：得 $c^{2}=m^{2}+m+4$ ，最后根据双曲线的离心率为 $\sqrt{5}$ ，可得 $c^{2}=5 a^{2}$ ，建立关于 $m$ 的方程：$m { }^{2}+m+4=5 m$ ，解之得 $m=2$ 。
解答 解：$\because \mathrm{m}^{2}+4>0$
∴ 双曲线 $\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{m^{2}+4}=1$ 的焦点必在 $x$ 轴上
因此 $a^{2}=m>0, b^{2}=m^{2}+4$
$\therefore \mathrm{c}^{2}=\mathrm{m}+\mathrm{m}^{2}+4=\mathrm{m}^{2}+\mathrm{m}+4$
∵ 双曲线 $\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{m^{2}+4}=1$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，
$\therefore \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\sqrt{5}$ ，可得 $\mathrm{c}^{2}=5 \mathrm{a}^{2}$ ，
所以 $m^{2}+m+4=5 m$ ，解之得 $m=2$
故答案为： 2

点评 本题给出含有字母参数的双曲线方程，在已知离心率的情况下求参数的值，着重考 ：查了双曲线的概念与性质，属于基础题．