2014_退役省自主命题 (2014·理)
19．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$，点 $\left(a_{n}, b_{n}\right)$ 在函数 $f(x)=2^{x}$ 的图象上 $\left(n \in N^{*}\right)$．
（1）若 $a_{1}=-2$，点 $\left(a_{8}, 4 b_{7}\right)$ 在函数 $f(x)$ 的图象上，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$；
（2）若 $a_{1}=1$，函数 $f(x)$ 的图象在点 $\left(a_{2}, b_{2}\right)$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $2-\frac{1}{\ln 2}$，求数列 $\left\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\right\}$ 的
前 $n$ 项和 $T_{n}$．
【答案】（1）$S_{n}=n(n-3)$；②$T_{n}=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^{n}}$．
## 【解析】
试题分析：据题设可得，$b_{n}=2^{a_{n}}$．①$b_{7}=2^{a_{7}}=2^{-2+6 d}, \therefore 4 \times 2^{-2+6 d}=2^{-2+7 d}, d=2$，由等差数列的前 $n$ 项和公式可得 $S_{n}$．②首先可求出 $f(x)=2^{x}$ 在 $\left(a_{2}, b_{2}\right)$ 处的切线为 $y-b_{2}=2^{a_{2}} \ln 2\left(x-a_{2}\right)$，今 $y=0$ 得 $-b_{2}=\left(2^{a_{2}} \ln 2\right) \times\left(x-a_{2}\right), x=a_{2}-\frac{1}{\ln 2}, \therefore a_{2}=2$，由此可求出 $a_{n}=n, b_{n}=2^{n}$．所以 $\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{n}{2^{n}}$，这个数列用错位相消法可得前 $n$ 项和 $T_{n}$．
试题解答：据题设可得 $b_{n}=2^{a_{n}}$。①$b_{7}=2^{a_{7}}=2^{-2+6 d}, \therefore 4 \times 2^{-2+6 d}=2^{-2+7 d}, d=2$，所以 $S_{n}=-2 n+n(n-1)=n(n-3)$.
（2）将 $f(x)=2^{x}$ 求导得 $f^{\prime}(x)=2^{x} \ln 2$，所以 $f(x)=2^{x}$ 在 $\left(a_{2}, b_{2}\right)$ 处的切线为 $y-b_{2}=2^{a_{2}} \ln 2\left(x-a_{2}\right)$，今 $y=0$ 得 $-b_{2}=\left(2^{a_{2}} \ln 2\right) \times\left(x-a_{2}\right), x=a_{2}-\frac{1}{\ln 2}, \therefore a_{2}=2$，
所以 $d=2-1=1, \therefore a_{n}=n, b_{n}=2^{n}$．所以 $\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{n}{2^{n}}$，
其前 $n$ 项和 $T_{n}=\frac{1}{2^{1}}+\frac{2}{2^{2}}+\frac{3}{2^{3}}+\cdots+\frac{n-1}{2^{n-1}}+\frac{n}{2^{n}}$
两边乘以 2 得： $2 T_{n}=\frac{1}{1}+\frac{2}{2^{1}}+\frac{3}{2^{2}}+\cdots+\frac{n}{2^{n-1}}$
（2）—（1）得： $2 T_{n}-T_{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2^{1}}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{n}{2^{n}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{n}{2^{n}}$，所以 $T_{n}=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^{n}}$．
## 【考点定位】等差数列与等比数列。