22．（15 分）已知数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$x_{1}=1, x_{n}=x_{n+1}+\ln \left(1+x_{n+1}\right)\left(n \in N^{*}\right)$ ，证明：当 $n \in \mathrm{N}^{*}$ 时，
（ I ） $0<x_{n+1}<x_{n}$ ；
（II） $2 x_{n+1}-x_{n} \leqslant \frac{x_{n} x_{n+1}}{2}$ ；
（III）$\frac{1}{2^{n-1}} \leqslant x_{n} \leqslant \frac{1}{2^{n-2}}$ ．
参考答案
(1) $0<x_{n+1}<x_{n}\left(n \in N^{*}\right)$; (2) $2 x_{n+1}-x_{n} \leqslant \frac{x_{n} x_{n+1}}{2}$; (3) $\frac{1}{2^{n-1}} \leqslant x_{n} \leqslant \frac{1}{2^{n-2}}$