（15 分）已知数列 x_ n 满足： x_ 1 =1,…——2017 高考数学第 22 题答案解析

【分析】（I）用数学归纳法即可证明，
（II）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，
（III）由 $\frac{x_{n} x_{n+1}}{2} \geqslant 2 x_{n+1}-x_{n}$ 得 $\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{2} \geqslant 2\left(\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{2}\right)>0$ ，继续放缩即可证明
【解答】解：（I ）用数学归纳法证明：$x_{n}>0$ ，
当 $n=1$ 时，$x_{1}=1>0$ ，成立，
假设当 $n=k$ 时成立，则 $x_{k}>0$ ，
那么 $n=k+1$ 时，若 $x_{k+1}<0$ ，则 $0故 $\mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}>0$ ，
因此 $x_{n}>0, ~\left(n \in N^{*}\right)$
$\therefore \mathrm{x}_{\mathrm{n}}=\mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}+\ln \left(1+\mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}\right)>\mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}$ ，
因此 $0（II）由 $x_{n}=x_{n+1}+\ln \left(1+x_{n+1}\right)$ 得 $x_{n} x_{n+1}-4 x_{n+1}+2 x_{n}=x_{n+1} 2-2 x_{n+1}+\left(x_{n+1}+2\right) \ln \left(1+x_{n+1}\right)$,

记函数 $f(x)=x^{2}-2 x+(x+2) \ln (1+x), x \geqslant 0$
$\therefore f^{\prime}(x)=\frac{2 x^{2}+x}{x+1}+\ln (1+x)>0$ ，
$\therefore f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，
$\therefore f(x) \geqslant f(0)=0$ ，
因此 $x_{n+1}^{2}-2 x_{n+1}+\left(x_{n+1}+2\right) \ln \left(1+x_{n+1}\right) \geqslant 0$ ，
故 $2 x_{n+1}-x_{n} \leqslant \frac{x_{n} x_{n+1}}{2}$ ；
（III）$\because x_{n}=x_{n+1}+\ln \left(1+x_{n+1}\right) \leqslant x_{n+1}+x_{n+1}=2 x_{n+1}$ ，
$\therefore \mathrm{x}_{\mathrm{n}} \geqslant \frac{1}{2^{\mathrm{n}-1}}$ ，
由 $\frac{x_{n} x_{n+1}}{2} \geqslant 2 x_{n+1}-x_{n}$ 得 $\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{2} \geqslant 2\left(\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{2}\right)>0$ ，
$\therefore \frac{1}{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}}-\frac{1}{2} \geqslant 2\left(\frac{1}{\mathrm{x}_{\mathrm{n}-1}}-\frac{1}{2}\right) \geqslant \ldots \geqslant 2^{\mathrm{n}-1}\left(\frac{1}{\mathrm{x}_{1}}-\frac{1}{2}\right)=2^{\mathrm{n}-2}$ ，
$\therefore \mathrm{x}_{\mathrm{n}} \leqslant \frac{1}{2^{\mathrm{n}-2}}$ ，
综上所述 $\frac{1}{2^{n-1}} \leqslant x_{n} \leqslant \frac{1}{2^{n-2}}$ ．
【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题