（5分）设 F 为抛物线 C： y^ 2 =3 x 的焦点…——2014 高考数学第 10 题答案解析

【考点】K8：抛物线的性质．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得 $|A B|$ 。

【解答】解：由 $\mathrm{y}^{2}=3 \mathrm{x}$ 得其焦点 $\mathrm{F}\left(\frac{3}{4}, 0\right)$ ，准线方程为 $\mathrm{x}=-\frac{3}{4}$ ．
则过抛物线 $y^{2}=3 x$ 的焦点 $F$ 且倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线方程为 $y=\tan 30^{\circ}\left(x-\frac{3}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}(x \left.-\frac{3}{4}\right)$.

代入抛物线方程，消去 $y$ ，得 $16 x^{2}-168 x+9=0$ ．
设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$
则 $\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=\frac{168}{16}=\frac{21}{2}$ ，
所以 $|\mathrm{AB}|=\mathrm{x}_{1}+\frac{3}{4}+\mathrm{x}_{2}+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{21}{2}=12$
故选：C．

【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用 ，运用弦长公式是解题的难点和关键．