在直角坐标系 x O y 中， C 的圆心为 C(2,1)…——2021 高考数学第 22 题答案解析

答案：
见解析
解析：
①$\odot C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2+\cos \theta \\ y=1+\sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数）
②$\odot C$ 的方程为 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1$
①当直线斜率不存在时，直线方程为 $x=4$ ，此时圆心到直线距离为 $2>r$ ，舍去；
②当直线斜率存在时，设直线方程为 $y-1=k(x-4)$ ，化简为 $k x-y-4 k+1=0$ ，

此时圆心 $C(2,1)$ 到直线的距离为 $d=\frac{|2 k-1-4 k+1|}{\sqrt{k^{2}+1}}=r=1$ ，
化简得 $2|k|=\sqrt{k^{2}+1}$ ，
两边平方有 $4 k^{2}=k^{2}+1$ ，所以 $k= \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$
代入直线方程并化简得 $x-\sqrt{3} y+\sqrt{3}-4=0$ 或 $x+\sqrt{3} y-\sqrt{3}-4=0$ 化为极坐标方程为
$\rho \cos \theta-\sqrt{3} \rho \sin \theta=4-\sqrt{3} \Leftrightarrow \rho \sin \left(\theta+\frac{5 \pi}{6}\right)=4-\sqrt{3}$
或 $\rho \cos \theta+\sqrt{3} \rho \sin \theta=4+\sqrt{3} \Leftrightarrow \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=4+\sqrt{3}$ ．