（16分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy…——2016 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
（16分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 $\mathrm{M}: \mathrm{x}^{2}+ y^{2}-12 x-14 y+60=0$ 及其上一点A（2，4）。
（1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 $\mathrm{x}=6$ 上，求圆 N 的标准方程；
②设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 $\mathrm{B} , \mathrm{C}$ 两点，且 $\mathrm{BC}=\mathrm{OA}$ ，求直线 $l$ 的方程；
③设点 $T(t, 0)$ 满足：存在圆 $M$ 上的两点 $P$ 和 $Q$ ，使得 $\overrightarrow{T A}+\overrightarrow{T P}=\overrightarrow{T Q}$ ，求实数 $t$ 的取值范围

【分析】①设 $N(6, n)$ ，则圆 $N$ 为：$(x-6)^{2}+(y-n)^{2}=n^{2}, n>0$ ，从而得到 $\mid 7-n |=| \mathrm{n} \mid+5$ ，由此能求出圆 N 的标准方程。
（2）由题意得 $O A=2 \sqrt{5}, k_{O A}=2$ ，设 $1: y=2 x+b$ ，则圆心M到直线 $l$ 的距离：$d=\frac{|5+b|}{\sqrt{5}}$ ，由此能求出直线 $l$ 的方程．
（3） $\overrightarrow{\mathrm{TA}}+\overrightarrow{\mathrm{TP}}=\overrightarrow{\mathrm{TQ}}$ ，即 $|\overrightarrow{\mathrm{TA}}|=\sqrt{(\mathrm{t}-2)^{2}+4^{2}}$ ，又 $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}| \leq 10$ ，得 $\mathrm{t} \in[2-2 \sqrt{21}, 2+2 \sqrt{21}]$ ，对于任意 $\mathrm{t} \in[2-2 \sqrt{21}, 2+2 \sqrt{21}]$ ，欲使 $\overrightarrow{\mathrm{TA}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ，只需要作直线 TA 的平行线，使圆心到直

线的距离为 $\sqrt{25-\frac{|\mathrm{TA}|^{2}}{4}}$ ，由此能求出实数 t 的取值范围．
【解答】解：（1）$\because \mathrm{N}$ 在直线 $\mathrm{x}=6$ 上，$\therefore$ 设 $\mathrm{N}(6, \mathrm{n})$ ，
∵ 圆 N 与 x 轴相切，$\therefore$ 圆 N 为：$(\mathrm{x}-6)^{2}+(\mathrm{y}-\mathrm{n})^{2}=\mathrm{n}^{2}, \mathrm{n}>0$ ，
又圆 $N$ 与圆 $M$ 外切，圆 $M: x^{2}+y^{2}-12 x-14 y+60=0$ ，即圆 $M:\left((x-6)^{2}+(x-7)^{2}=25\right.$ ，
$\therefore|7-\mathrm{n}|=|\mathrm{n}|+5$ ，解得 $\mathrm{n}=1$ ，
∴ 圆 N 的标准方程为 $(\mathrm{x}-6)^{2}+(\mathrm{y}-1)^{2}=1$ ．

②由题意得 $O A=2 \sqrt{5}, k_{O A}=2$ ，设1：$y=2 x+b$ ，
则圆心 $M$ 到直线 $l$ 的距离：$d=\frac{|12-7+b|}{\sqrt{2^{2}+1}}=\frac{|5+b|}{\sqrt{5}}$ ，
则 $|\mathrm{BC}|=2 \sqrt{5^{2}-\mathrm{d}^{2}}=2 \sqrt{25-\frac{(5+\mathrm{b})^{2}}{5}}, ~ \mathrm{BC}=2 \sqrt{5}$ ，即 $2 \sqrt{25-\frac{(5+\mathrm{b})^{2}}{5}}=2 \sqrt{5}$ ，
解得 $\mathrm{b}=5$ 或 $\mathrm{b}=-15$ ，
∴ 直线 $l$ 的方程为：$y=2 x+5$ 或 $y=2 x-15$ ．
③ $\overrightarrow{\mathrm{TA}}+\overrightarrow{\mathrm{TP}}=\overrightarrow{\mathrm{TQ}}$ ，即 $\overrightarrow{\mathrm{TA}}=\overrightarrow{\mathrm{TQ}}-\overrightarrow{\mathrm{TP}}$ ，即 $|\overrightarrow{\mathrm{TA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$ ，
$|\overrightarrow{\mathrm{TA}}|=\sqrt{(\mathrm{t}-2)^{2}+4^{2}}$,
又 $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}| \leq 10$ ，即 $\sqrt{(\mathrm{t}-2)^{2}+4^{2}} \leq 10$ ，解得 $\mathrm{t} \in[2-2 \sqrt{21}, 2+2 \sqrt{21}]$ ，
对于任意 $\mathrm{t} \in[2-2 \sqrt{21}, 2+2 \sqrt{21}]$ ，欲使 $\overrightarrow{\mathrm{TA}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ，
此时，$|\overrightarrow{\mathrm{TA}}| \leq 10$ ，
只需要作直线 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为 $\sqrt{25-\frac{|\mathrm{TA}|^{2}}{4}}$ ，
必然与圆交于 $P , Q$ 两点，此时 $|\overrightarrow{\mathrm{TA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$ ，即 $\overrightarrow{\mathrm{TA}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ ，
因此实数 t 的取值范围为 $\mathrm{t} \in[2-2 \sqrt{21}, 2+2 \sqrt{21}]$ ，。
【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．